Encontrando el rango de $y =\frac{x^2+2x+4}{2x^2+4x+9}$ (y $y=\frac{\text{cuadrática}}{\text{cuadrática}}$ en general)

Question

Tuve este problema en un examen que presenté recientemente:

Encuentra el rango de $$y =\frac{x^2+2x+4}{2x^2+4x+9}$$

Al asumir aleatoriamente el valor de $x$, obtuve el rango inferior de esta expresión como $3/7$. Pero para el límite superior, me quedé sin tiempo para calcular su valor y por lo tanto no pude resolver esta pregunta.

Ahora, sé que una forma de resolver esta expresión para obtener su rango es asumir toda la expresión como igual a K, obtener un cuadrático en K y encontrar el valor máximo/mínimo de K que a su vez será el rango de esa expresión. Estaba corto de tiempo así que evité este método tan largo.

Otro chico que conocí fuera del centro de exámenes, me dijo que utilizó un enfoque de $x$ tendiendo a infinito en ambos casos y obtuvo el valor máximo de esta expresión como $1/2$. Pero antes de que pudiera pedirle que explicara más sobre este método, tuvo que irse a trabajar.

Así que, ¿alguien podría arrojar algo de luz sobre este método de $x$ tendiendo a infinito para obtener el rango, y cómo funciona? Y si existe algún otro método eficiente y más rápido para encontrar el rango de una función definida en forma de (cuadrático/cuadrático).

Answer 1

La pregunta se puede resolver fácilmente mediante esta técnica:

Como $\displaystyle y = \frac {x^2 + 2x + 4}{2x^2 + 4x + 9} \implies 2y = \frac {2x^2 + 4x + 9 - 1}{2x^2 + 4x + 9}$.

Así, $\displaystyle 2y = 1-\frac {1}{2(x + 1)^2 + 7} $

Los cuadrados nunca pueden ser menores que cero, por lo que el valor mínimo de la función: $\displaystyle 2(x + 1)^2 + 7 $ sería $7$, o el valor máximo de $\displaystyle \frac {1}{2(x + 1)^2 + 7} $ es $\displaystyle \frac {1}{7} $.

Esto indica que el valor mínimo de $y $ será $\displaystyle \frac{3}{7}$.

Y así sucesivamente... verifica para $x \rightarrow \infty$.

Desde aquí puedes decir fácilmente los valores máximo y mínimo: $\displaystyle y \in \left [ \frac {3}{7}, \frac {1}{2} \right ) $

Answer 2

Como seguimiento a la respuesta de @NikolaAlfredi:

$ y = \frac{x^2 + 2x + 4}{2x^2 + 4x + 9} = \frac{2x^2 + 4x + 8}{2(2x^2 + 4x + 9)} = \frac{2x^2+4x+9 - 1}{2(2x^2+4x+9)} = \frac{1}{2}(1-\frac{1}{2x^2+4x+9}) \implies 2y = 1 - \frac{1}{2x^2+4x+9}$. Ahora encuentra los extremos del rango de la expresión en el lado derecho de la ecuación anterior (lo cual creo que puedes hacer; si no, alguien más o yo mismo intentaremos agregarlo) y divídelos por $2$ para obtener los extremos requeridos (tomando la mitad ya que obtenemos valores para $2y$ y no $y$).

Answer 3

En general, si $\deg f = 0$ donde $$f(x) = \frac{a_nx^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + \cdots + a_1x + a_0}{b_nx^n + b_{n - 1}x^{n - 1} + \cdots + b_1x + b_0},$$ el límite de $f$ a medida que $x$ aumenta/disminuye sin límite es $a_n/b_n$.

En tu caso, $a_2 = 1$ y $b_2 = 2$. Por lo tanto, $a_2/b_2 = 1/2$.

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Vamos a factorizar $f$ como $$\frac{x^2+2x+4}{2x^2+4x+9} = \frac{(x + 1)^2 + 3}{2(x + 1)^2 + 7}.$$

Observa que para todo $x \in \mathbb{R}$, $f > 0$. Además, podemos ver que $(x+1)^2 + 2 < 2(x + 1)^2 + 7$. Esto significa que el rango debería ser una parte de $(0,1/2)$. Dado que tanto el numerador como el denominador tienen $(x + 1)^2$ sin ningún restante $x$, podemos ver que esto será mínimo cuando $x = -1$. Entonces, $$f(-1) = \frac{(-1 + 1)^2 + 3}{2(-1 + 1)^2 + 7} \\ = \frac{(0)^2 + 3}{2(0)^2 + 7} \\ \frac{3}{7}$$

Por lo tanto, el rango es $[3/7, 1/2)$.

Answer 4

$$y = \frac{x^2 + 2x + 4}{2x^2 + 4x + 9} = \frac12 - \frac {1/2}{2x^2 + 4x + 9} \implies \frac {dy}{dx} = \frac {4x + 4}{\text{lo que sea}} \text{ Dejar } \color{green}{\frac{dy}{dx} = 0 \implies x = -1}, y(x = -1) = \color{blue}{\frac37} \text{ también } y(x\to \infty) = \color{blue}{\frac 12}$$

Answer 5

Caso Especial para Este Problema

Puedes simplificar mediante la sustitución $u=(x+1)^{2}$:

$$ \begin{aligned} y = \frac{x^{2}+2x+4}{2x^{2}+4x+9} &= \frac{u+3}{2u+7} \\\\ &\in \left[\frac{3}{7},\frac{1}{2}\right) \phantom{x} \forall \phantom{x} u\geq 0 \end{aligned} $$

Se puede ver a la derecha, a medida que $u$ crece más y más, la expresión se acerca a $\frac{1}{2}$. Este es el método que mencionó tu amigo.

Caso General

Después de asegurarte de que el denominador no sea cero, realiza manipulaciones algebraicas como las siguientes.

$$ y = \frac{x^{2}+2x+4}{2x^{2}+4x+9} \implies (2y-1)x^{2}+(4y-2)x+9y-4 = 0 $$

Para tener solución, el discriminante debe ser no negativo.

$$ \begin{aligned} 0 &\leq (4y-2)^{2} - 4(2y-1)(9y-4) \\ &= -56y^{2}+52y-12 \\ &= -(7y-3)(8y-4), \phantom{x} y\neq \frac{1}{2} \end{aligned} $$

Se puede ver que $y\in\left[\frac{3}{7},\frac{1}{2}\right)$.