Límite superior en la integral $\int_{\mathbb R}\omega_I\omega_J$ con pesos asociados a intervalos $I,J$

Question

Actualmente estoy estudiando Análisis Armónico Clásico y Multilineal. Vol. 1 por Camil Muscalu, Wilhelm Schlag. Necesito verificar la siguiente desigualdad de cálculo (Eq. 9.27, en la página 255) $$\int_{-\infty}^\infty \omega_I(x)\omega_J(x)dx\le C\min(|I|,|J|)\left(\frac{|I|+|J|}{|I|+|J|+\operatorname{dist}(I,J)}\right)^{1+\delta}$$ donde $$\omega_I(x):=C\left(\frac{|I|}{|I|+\operatorname{dist}(x,I)}\right)^{1+\delta}$$ Aquí $I$ y $J$ son intervalos diádicos en $[0,1]$. Precisamente de la Definición 8.12 del mismo libro.

Establecemos $$A_n:=\{[(k-1)2^{-n},k2^{-n}|1\le k\le2^n\}$$ para cada $n\ge0$ y $D_n:=\bigcup^n_{n=0}A_m$ para cada $0\le n\le\infty$. Cada $I$ y $J$ son un elemento de $A_n$.

Hay una pista para esto que dice

Para demostrar esto, reducir a $I=[0,1]$ y $|J|\le 1$ escalando y luego considerar diferentes casos dependiendo del tamaño de $\operatorname{dist}(0,I)$.

No sé cómo aboradar los "diferentes casos".

Answer 1

Creo que puede estar leyendo mal el texto. La desigualdad de cálculo afirmada es para todos los intervalos $I,J\subset\mathbb{R}$, no solo para subintervalos díadicos de $[0,1]$. Además, tenga en cuenta que la constante $C=C_{\delta}$ es solo alguna constante absoluta, que puede depender de $\delta>0$. No es la constante utilizada en la definición anterior de las funciones $\omega_{I}$ de los autores; de lo contrario, deberíamos tener un $C^{2}$ en la parte derecha de la desigualdad. De hecho, $C$ debe depender de $\delta$. Para ver esto, observe que si $J=[-1,1]$ e $I=[-r,r]$, donde $r\geq 1$, entonces $$\begin{align*} \int_{\mathbb{R}}\omega_{I}\omega_{J}\geq\int_{1}^{r}\dfrac{1}{(1+\left|x-1\right|)^{1+\delta}}+\int_{-r}^{-1}\dfrac{1}{(1+\left|x+1\right|)^{1+\delta}}=\int_{-(r-1)}^{r-1}\dfrac{1}{(1+\left|x\right|)^{1+\delta}} \end{align*}$$ Al dejar que $r\uparrow\infty$ y $\delta\downarrow 0$ junto con la divergencia de la integral $\int1/(1+\left|x\right|)$ muestra que no podemos esperar una constante que sea válida para todos los $\delta>0.

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Supongamos que hemos reducido al caso donde $I=[0,1]$ y $J\subset\mathbb{R}$ es un intervalo con $\left|J\right|\leq 1$. No indicaste ningún problema con esta parte, así que lo omitiré. Necesitamos mostrar que existe una constante $C>0$, que puede depender de $\delta$, tal que $$\int_{\mathbb{R}}\omega_{I}(x)\omega_{J}(x)\mathrm{d}x\leq C_{\delta}\left|J\right|\left(\dfrac{1+\left|J\right|}{1+\left|J\right|+\text{dist}(I,J)}\right)^{1+\delta},\qquad\forall\left|J\right|\leq 1\tag{1}$$

Primero, consideremos todos los $J=[a,b]$ de modo que $\text{dist}(I,J)\leq\left|J\right|$. Entonces $$\dfrac{1}{3}\leq\dfrac{1+\left|J\right|}{1+2\left|J\right|}\leq\dfrac{1+\left|J\right|}{1+\left|J\right|+\text{dist}(I,J)}\leq 1$$ Por lo tanto, \begin{align*} \int_{\mathbb{R}}\omega_{I}(x)\omega_{J}(x)&\leq\int_{J}\omega_{I}(x)\omega_{J}(x)\mathrm{d}x+\int_{-\infty}^{a}(1+\left|x-a\right|/\left|J\right|)^{-1-\delta}\mathrm{d}x+\int_{b}^{\infty}(1+\left|x-b\right|/\left|J\right|)^{-1-\delta}\mathrm{d}x\\ &\leq\left|J\right|+2\left|J\right|\int_{\mathbb{R}}(1+\left|x\right|)^{-1-\delta}\mathrm{d}x\\ &\leq\underbrace{\left(3^{1+\delta}\left(1+2\int_{\mathbb{R}}(1+\left|x\right|)^{-1-\delta}\mathrm{d}x\right)\right)}_{C_{1}}\left|J\right|\left(\dfrac{1+\left|J\right|}{1+\left|J\right|+\text{dist}(I,J)}\right)^{1+\delta} \tag{2} \end{align*> donde utilizamos la invarianza por traslación y dilatación de la integral en la segunda desigualdad y nuestro análisis anterior en la tercera desigualdad.

Ahora, consideremos todos los $J$ tales que $\left|J\right|\leq\text{dist}(I,J)$. Sin pérdida de generalidad, supongamos $1\leq a< b<\infty$. Sea $c=(a+1)/2$. Dividimos la integral en los intervalos $(-\infty,0]$, $I=[0,1]$, $[1,c]$, $[c,a]$, $J=[a,b]$, y $[b,\infty)$.

Tratemos primero los términos sobre $[0,1]$. Si $\text{dist}(I,J)\leq 1$, entonces $$\dfrac{1}{3}\leq\dfrac{1+\left|J\right|}{1+\left|J\right|+\text{dist}(I,J)}\leq 1$$ Dado que \begin{align*> \int_{0}^{1}\omega_{I}\omega_{J}\leq\int_{0}^{1}\left(1+\left|x-a\right|/\left|J\right|\right)^{-1-\delta}\mathrm{d}x\leq\left|J\right|\int_{\mathbb{R}}(1+\left|x\right|)^{-1-\delta}\mathrm{d}x \end{align*> La misma constante $C_{1}$ que arriba funciona para acotar este término. Si $\text{dist}(I,J)>1$, entonces $$\int_{0}^{1}\omega_{I}\omega_{J}\leq\dfrac{\left|J\right|^{1+\delta}}{(\left|J\right|+\text{dist}(I,J))^{1+\delta}}$$ Dado que $$\dfrac{1+\left|J\right|+\text{dist}(I,J)}{\left|J\right|+\text{dist}(I,J)}=1+\dfrac{1}{\left|J\right|+\text{dist}(I,J)}\leq 1+\dfrac{1}{1+\left|J\right|}\leq 2,$$ concluimos que $$\int_{0}^{1}\omega_{I}\omega_{J}\leq 2\dfrac{\left|J\right|^{1+\delta}}{(1+\left|J\right|+\text{dist}(I,J))^{1+\delta}}\leq 2\left|J\right|\dfrac{(1+\left|J\right|)^{1+\delta}}{(1+\left|J\right|+\text{dist}(I,J))^{1+\delta}} \tag{3}$donde utilizamos$\left|J\right|\leq 1$.

Ahora consideremos la integral sobre los dos subintervalos $[1,c]$ y $[c,a]$. Observe que \begin{align*> \int_{1}^{c}\omega_{I}\omega_{J}&=\int_{1}^{c}\dfrac{1}{(1+\left|x-1\right|)^{1+\delta}}\dfrac{\left|J\right|^{1+\delta}}{(\left|J\right|+\left|a-x\right|)^{1+\delta}}\\ &\leq\dfrac{\left|J\right|^{1+\delta}}{(\left|J\right|+\left|a-c\right|)^{1+\delta}}\int_{\mathbb{R}}(1+\left|x\right|)^{-1-\delta}\\ &=\dfrac{\left|J\right|^{1+\delta}}{(\left|J\right|+\text{dist>(I,J)/2)^{1+\delta}}\int_{\mathbb{R}}(1+\left|x\right|)^{-1-\delta}\\

La misma análisis de casos para $\text{dist}(I,J)\leq 1$ y $\text{dist}(I,J)>1$ como arriba, muestra que $$\int_{1}^{c}\omega_{I}\omega_{J}\leq\max\left\{C_{1},2^{2+\delta}\int_{\mathbb{R}}(1+\left|x\right|)^{-1-\delta}\right\}\left|J\right|\dfrac{(1+\left|J\right|)^{1+\delta}}{(1+\left|J\right|+\text{dist>(I,J))^{1+\delta}}\tag{4}

Observa que por invarianza por dilatación y translación, tenemos la estimación \begin{align*> \int_{c}^{a}\omega_{I}\omega_{J}&\leq\dfrac{1}{(1+\left|c-1\right|)^{1+\delta}}\int_{c}^{a}\dfrac{1}{(1+\left|a-x\right|/\left|J\right|)^{1+\delta}}\\ &\leq\dfrac{\left|J\right|}{(1+\text{dist}(I,J)/2)^{1+\delta}}\int_{\mathbb{R}}(1+\left|x\right|)^{-1-\delta}\\ &\leq \underbrace{\left(2^{1+\delta}\int_{\mathbb{R}}(1+\left|x\right|)^{-1-\delta}\right)}>{C_{2}}\left|J\right|\dfrac{(1+\left|J\right|)^{1+\delta}}{(1+\left|J\right|+\text{dist}(I,J))^{1+\delta}}\tag{5},

ya que $\left|J\right|\leq 1$.

Para la integral sobre $J$, tenemos la estimación $$\int_{J}\omega_{I}\omega_{J}\leq\left|J\right|\dfrac{1}{(1+\text{dist>(I,J))^{1+\delta}} $$Dado que$$ \dfrac{1+\left|J\right|+\text{dist}(I,J)}{1+\text{dist>(I,J)}\leq1+\dfrac{\left|J\right|}{1+\text{dist>(I,J)}\leq 1+\left|J\right|, $$concluimos que$$ \int_{J}\omega_{I}\omega_{J}\leq\left|J\right|\dfrac{(1+\left|J\right|)^{1+\delta}}{(1+\left|J\right|+\text{dist}(I,J))^{1+\delta}}$

Por último, \begin{align*> \int_{b}^{\infty}\omega_{I}\omega_{J}&\leq\dfrac{1}{(1+\left|b-1\right|)^{1+\delta}}\int_{b}^{\infty}\dfrac{1}{(1+\left|x-b\right|/\left|J\right|)^{1+\delta}}\\ &\leq\dfrac{\left|J\right|}{(1+\left|J\right|+\text{dist}(I,J))^{1+\delta}}\int_{\mathbb{R}}(1+\left|x\right|)^{-1-\delta}\tag{7},

y \begin{align*> \int_{-\infty}^{0}\omega_{I}\omega_{J}&\leq\dfrac{\left|J\right|^{1+\delta}}{(\left|J\right|+a)^{1+\delta}}\int_{\mathbb{R}}\dfrac{1}{(1+\left|x-1\right|)^{1+\delta}}\\ &\leq\dfrac{\left|J\right|^{1+\delta}}{(1+\left|J\right|+\text{dist>(I,J))^{1+\delta}}\int_{\mathbb{R}}(1+\left|x\right|)^{-1-\delta}\tag{8},

donde notamos $\left|J\right|^{1+\delta}\leq\left|J\right|$, ya que $\left|J\right|\leq 1$.

Finalmente, tomando la constante deseada $C$ como $$C:=\max\left>{C_{1},C_{2},2^{2+\delta}\int_{\mathbb{R}}(1+\left|x\right|)^{-1-\delta},2\right\}\tag{9}$

da como resultado la desigualdad deseada.