Creo que puede estar leyendo mal el texto. La desigualdad de cálculo afirmada es para todos los intervalos I,J\subset\mathbb{R}, no solo para subintervalos díadicos de [0,1]. Además, tenga en cuenta que la constante C=C_{\delta} es solo alguna constante absoluta, que puede depender de \delta>0. No es la constante utilizada en la definición anterior de las funciones \omega_{I} de los autores; de lo contrario, deberíamos tener un C^{2} en la parte derecha de la desigualdad. De hecho, C debe depender de \delta. Para ver esto, observe que si J=[-1,1] e I=[-r,r], donde r\geq 1, entonces \begin{align*} \int_{\mathbb{R}}\omega_{I}\omega_{J}\geq\int_{1}^{r}\dfrac{1}{(1+\left|x-1\right|)^{1+\delta}}+\int_{-r}^{-1}\dfrac{1}{(1+\left|x+1\right|)^{1+\delta}}=\int_{-(r-1)}^{r-1}\dfrac{1}{(1+\left|x\right|)^{1+\delta}} \end{align*} Al dejar que r\uparrow\infty y \delta\downarrow 0 junto con la divergencia de la integral \int1/(1+\left|x\right|) muestra que no podemos esperar una constante que sea válida para todos los $\delta>0.
Supongamos que hemos reducido al caso donde I=[0,1] y J\subset\mathbb{R} es un intervalo con \left|J\right|\leq 1. No indicaste ningún problema con esta parte, así que lo omitiré. Necesitamos mostrar que existe una constante C>0, que puede depender de \delta, tal que \int_{\mathbb{R}}\omega_{I}(x)\omega_{J}(x)\mathrm{d}x\leq C_{\delta}\left|J\right|\left(\dfrac{1+\left|J\right|}{1+\left|J\right|+\text{dist}(I,J)}\right)^{1+\delta},\qquad\forall\left|J\right|\leq 1\tag{1}
Primero, consideremos todos los J=[a,b] de modo que \text{dist}(I,J)\leq\left|J\right|. Entonces \dfrac{1}{3}\leq\dfrac{1+\left|J\right|}{1+2\left|J\right|}\leq\dfrac{1+\left|J\right|}{1+\left|J\right|+\text{dist}(I,J)}\leq 1 Por lo tanto, \begin{align*} \int_{\mathbb{R}}\omega_{I}(x)\omega_{J}(x)&\leq\int_{J}\omega_{I}(x)\omega_{J}(x)\mathrm{d}x+\int_{-\infty}^{a}(1+\left|x-a\right|/\left|J\right|)^{-1-\delta}\mathrm{d}x+\int_{b}^{\infty}(1+\left|x-b\right|/\left|J\right|)^{-1-\delta}\mathrm{d}x\\ &\leq\left|J\right|+2\left|J\right|\int_{\mathbb{R}}(1+\left|x\right|)^{-1-\delta}\mathrm{d}x\\ &\leq\underbrace{\left(3^{1+\delta}\left(1+2\int_{\mathbb{R}}(1+\left|x\right|)^{-1-\delta}\mathrm{d}x\right)\right)}_{C_{1}}\left|J\right|\left(\dfrac{1+\left|J\right|}{1+\left|J\right|+\text{dist}(I,J)}\right)^{1+\delta} \tag{2} \end{align*> donde utilizamos la invarianza por traslación y dilatación de la integral en la segunda desigualdad y nuestro análisis anterior en la tercera desigualdad.
Ahora, consideremos todos los J tales que \left|J\right|\leq\text{dist}(I,J). Sin pérdida de generalidad, supongamos 1\leq a< b<\infty. Sea c=(a+1)/2. Dividimos la integral en los intervalos (-\infty,0], I=[0,1], [1,c], [c,a], J=[a,b], y [b,\infty).
Tratemos primero los términos sobre [0,1]. Si \text{dist}(I,J)\leq 1, entonces \dfrac{1}{3}\leq\dfrac{1+\left|J\right|}{1+\left|J\right|+\text{dist}(I,J)}\leq 1 Dado que \begin{align*> \int_{0}^{1}\omega_{I}\omega_{J}\leq\int_{0}^{1}\left(1+\left|x-a\right|/\left|J\right|\right)^{-1-\delta}\mathrm{d}x\leq\left|J\right|\int_{\mathbb{R}}(1+\left|x\right|)^{-1-\delta}\mathrm{d}x \end{align*> La misma constante C_{1} que arriba funciona para acotar este término. Si \text{dist}(I,J)>1, entonces \int_{0}^{1}\omega_{I}\omega_{J}\leq\dfrac{\left|J\right|^{1+\delta}}{(\left|J\right|+\text{dist}(I,J))^{1+\delta}} Dado que \dfrac{1+\left|J\right|+\text{dist}(I,J)}{\left|J\right|+\text{dist}(I,J)}=1+\dfrac{1}{\left|J\right|+\text{dist}(I,J)}\leq 1+\dfrac{1}{1+\left|J\right|}\leq 2, concluimos que $$\int_{0}^{1}\omega_{I}\omega_{J}\leq 2\dfrac{\left|J\right|^{1+\delta}}{(1+\left|J\right|+\text{dist}(I,J))^{1+\delta}}\leq 2\left|J\right|\dfrac{(1+\left|J\right|)^{1+\delta}}{(1+\left|J\right|+\text{dist}(I,J))^{1+\delta}} \tag{3} donde utilizamos \left|J\right|\leq 1$.
Ahora consideremos la integral sobre los dos subintervalos [1,c] y [c,a]. Observe que \begin{align*> \int_{1}^{c}\omega_{I}\omega_{J}&=\int_{1}^{c}\dfrac{1}{(1+\left|x-1\right|)^{1+\delta}}\dfrac{\left|J\right|^{1+\delta}}{(\left|J\right|+\left|a-x\right|)^{1+\delta}}\\ &\leq\dfrac{\left|J\right|^{1+\delta}}{(\left|J\right|+\left|a-c\right|)^{1+\delta}}\int_{\mathbb{R}}(1+\left|x\right|)^{-1-\delta}\\ &=\dfrac{\left|J\right|^{1+\delta}}{(\left|J\right|+\text{dist>(I,J)/2)^{1+\delta}}\int_{\mathbb{R}}(1+\left|x\right|)^{-1-\delta}\\
La misma análisis de casos para \text{dist}(I,J)\leq 1 y \text{dist}(I,J)>1 como arriba, muestra que $$\int_{1}^{c}\omega_{I}\omega_{J}\leq\max\left\{C_{1},2^{2+\delta}\int_{\mathbb{R}}(1+\left|x\right|)^{-1-\delta}\right\}\left|J\right|\dfrac{(1+\left|J\right|)^{1+\delta}}{(1+\left|J\right|+\text{dist>(I,J))^{1+\delta}}\tag{4}
Observa que por invarianza por dilatación y translación, tenemos la estimación \begin{align*> \int_{c}^{a}\omega_{I}\omega_{J}&\leq\dfrac{1}{(1+\left|c-1\right|)^{1+\delta}}\int_{c}^{a}\dfrac{1}{(1+\left|a-x\right|/\left|J\right|)^{1+\delta}}\\ &\leq\dfrac{\left|J\right|}{(1+\text{dist}(I,J)/2)^{1+\delta}}\int_{\mathbb{R}}(1+\left|x\right|)^{-1-\delta}\\ &\leq \underbrace{\left(2^{1+\delta}\int_{\mathbb{R}}(1+\left|x\right|)^{-1-\delta}\right)}>{C_{2}}\left|J\right|\dfrac{(1+\left|J\right|)^{1+\delta}}{(1+\left|J\right|+\text{dist}(I,J))^{1+\delta}}\tag{5},
ya que \left|J\right|\leq 1.
Para la integral sobre J, tenemos la estimación $$\int_{J}\omega_{I}\omega_{J}\leq\left|J\right|\dfrac{1}{(1+\text{dist>(I,J))^{1+\delta}} Dado que \dfrac{1+\left|J\right|+\text{dist}(I,J)}{1+\text{dist>(I,J)}\leq1+\dfrac{\left|J\right|}{1+\text{dist>(I,J)}\leq 1+\left|J\right|, concluimos que \int_{J}\omega_{I}\omega_{J}\leq\left|J\right|\dfrac{(1+\left|J\right|)^{1+\delta}}{(1+\left|J\right|+\text{dist}(I,J))^{1+\delta}}$
Por último, \begin{align*> \int_{b}^{\infty}\omega_{I}\omega_{J}&\leq\dfrac{1}{(1+\left|b-1\right|)^{1+\delta}}\int_{b}^{\infty}\dfrac{1}{(1+\left|x-b\right|/\left|J\right|)^{1+\delta}}\\ &\leq\dfrac{\left|J\right|}{(1+\left|J\right|+\text{dist}(I,J))^{1+\delta}}\int_{\mathbb{R}}(1+\left|x\right|)^{-1-\delta}\tag{7},
y \begin{align*> \int_{-\infty}^{0}\omega_{I}\omega_{J}&\leq\dfrac{\left|J\right|^{1+\delta}}{(\left|J\right|+a)^{1+\delta}}\int_{\mathbb{R}}\dfrac{1}{(1+\left|x-1\right|)^{1+\delta}}\\ &\leq\dfrac{\left|J\right|^{1+\delta}}{(1+\left|J\right|+\text{dist>(I,J))^{1+\delta}}\int_{\mathbb{R}}(1+\left|x\right|)^{-1-\delta}\tag{8},
donde notamos \left|J\right|^{1+\delta}\leq\left|J\right|, ya que \left|J\right|\leq 1.
Finalmente, tomando la constante deseada C como $$C:=\max\left>{C_{1},C_{2},2^{2+\delta}\int_{\mathbb{R}}(1+\left|x\right|)^{-1-\delta},2\right\}\tag{9}$
da como resultado la desigualdad deseada.