Tengo una matriz $6\times6$ cuyos elementos son funciones de los ángulos de Euler (esquema de rotación ZXZ) que representan una propiedad física tensorial. Para encontrar el promedio de la propiedad tensorial, necesito integrar esta matriz en el espacio en un sistema de coordenadas esféricas. He encontrado en muchos lugares que dos de los ángulos de Euler son iguales a las coordenadas esféricas $(\theta, \phi)$, pero no puedo imaginar cómo lidiar con el tercer ángulo de Euler en esta integración. Agradecería cualquier ayuda.
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LonelyProf
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Creo que el promedio orientacional de una función $f(\phi, \theta, \chi)$ de los tres ángulos de Euler $\phi$, $\theta$, $\chi$ puede escribirse como $$ \langle f\rangle = \frac{1}{8\pi^2} \int_0^{2\pi} d\phi \, \int_0^{\pi} \sin\theta d\theta \, \int_0^{2\pi} d\chi \, f(\phi, \theta, \chi) $$ Aquí $\theta$ es el ángulo de rotación alrededor del eje $x$, que se aplica entre las dos rotaciones alrededor de los ejes $z$. Puedes ver un ejemplo de esto siendo utilizado en este artículo (en ese artículo la rotación intermedia es alrededor del eje $y$, pero no creo que afecte a los elementos de volumen que aparecen en la integral).
[EDICIÓN siguiendo comentarios del OP]
Voy a hacer algunas observaciones adicionales aquí, siguiendo los comentarios realizados en mi respuesta original. (En general, se desaconseja la discusión extendida en los comentarios, y puedo ver el peligro de ir mucho más allá de la pregunta original).
Por tus comentarios, y otra pregunta tuya en Math SE, parece que quieres promediar orientacionalmente un tensor de rigidez de $6\times 6$ para un cristal con cierta simetría.
Ciertamente, puedes usar la simetría para restringir el rango de integración. Necesitas identificar elementos de simetría (rotaciones) del cristal, digamos $\mathcal{R}$, que satisfacen $f(\Omega)=f(\mathcal{R}\Omega)$ donde $\Omega$ es abreviatura de $(\phi,\theta,\chi)$. Luego necesitas identificar los rangos de ángulos correspondientes, es decir, las subregiones de integración angular que se mapean entre sí por esta misma operación $\mathcal{R}$. Puede ser más fácil representar $\mathcal{R}$ como una rotación alrededor de un eje por un ángulo especificado, pero esto se convierte fácilmente en otras formas. Si estás haciendo esto numéricamente, tendría sentido verificar (numéricamente) una o dos veces que obtienes la misma respuesta de la integración completa que de la reducida por simetría.
Sin embargo, para un cristal simétrico, ¿seguramente se conoce exactamente la dependencia angular de un tensor de cuarta orden? Por ejemplo, para cristales cúbicos, este artículo de acceso abierto de KM Knowles y PR Howie, J Elast, 120, 87 (2015) describe en la ecuación (5) cómo el tensor de rigidez $C_{ijk\ell}$ (escrito en su forma completa, no en la notación Voigt reducida de $6\times6$) depende de la orientación, que se representa como una matriz de rotación $3\times3$ con componentes $a_{ij}$. (Estos se pueden escribir, si lo deseas, en términos de los ángulos de Euler). Una vez que conoces los elementos de $C_{ijk\ell}$ en un conjunto conveniente de ejes basados en la celda unitaria cristalina, calcular el promedio orientacional de estos elementos de matriz de rotación es relativamente sencillo, y para un promedio orientacional isotrópico (que parece ser lo que quieres, es decir, no has mencionado una función de distribución orientacional) seguramente se puede evaluar analíticamente. Se da un ejemplo en la sección 7 de ese artículo.
Por supuesto, tu cristal puede que no sea cúbico. Pero para cualquier simetría de cristal, debería ser posible aplicar los mismos principios, y puede que ya se haya hecho para tu cristal, si buscas en la literatura.
