Suma directa de categorías aditivas

Question

Estoy siguiendo el libro de Etingof et al sobre categorías tensoriales. Ellos definen la suma directa de categorías aditivas de la siguiente manera (estoy parafraseando):

Sea $\{ \mathcal C_\alpha, \alpha \in I \}$ una familia de categorías aditivas.
La suma directa $\mathcal C=\underset{\alpha\in I}{\bigoplus}{\mathcal C}_\alpha$ es la categoría cuyos objetos son $$X = \underset{\alpha\in I}{\bigoplus}X_\alpha ,\quad X_\alpha \in \mathcal C_\alpha$$ tal que solo un número finito de $X_\alpha$ son $\neq 0_\alpha$. Las flechas son $$ \text{Hom}_\mathcal C(\underset{\alpha\in I}{\bigoplus}X_\alpha,\underset{\alpha\in I}{\bigoplus}Y_\alpha) = \underset{\alpha\in I}{\bigoplus} \text{Hom}_{\mathcal C_\alpha}(X_\alpha,Y_\alpha) $$

Mi problema con esto: ¿cómo tiene sentido hacer la suma directa de objetos de categorías aditivas diferentes? Esta definición se basa en esta posibilidad, pero solo sabemos que tenemos la suma directa de dos objetos en la misma categoría aditiva, no de categorías diferentes...

Answer 1

No leí su libro, pero presumiblemente esto es solo una combinación de notación/definición, como en:

Un objeto $X$ en la categoría de suma directa es una lista indexada por $I$ de objetos $X_i$, uno de cada categoría, finitos y distintos de cero, que se denotará con la notación sugestiva $X = \bigoplus_{i \in I} X_i$. En cuanto a los conjuntos $Hom$, estos son en realidad grupos abelianos, por lo que puedes sumarlos.

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Si esta notación necesitaba más justificación, hay que tener en cuenta que una vez que hayas construido esta categoría $\mathcal C = \bigoplus \mathcal C_i$, entonces hay inclusiones $F_i: \mathcal C_i \to \mathcal C$ de categorías aditivas para las cuales en realidad se tiene una identificación natural $$\bigoplus F_i(X_i) = \bigoplus X_i$$ donde en la izquierda la $\bigoplus$ es en realidad una suma directa en una categoría aditiva y en la derecha la $\bigoplus$ es la "notación sugestiva".

Continuando esta discusión durante lo que ahora es mucho más largo de lo necesario, podrías comparar esta situación con la suma directa externa de espacios vectoriales $V_i$. Dado $v_i\in V_i$ por supuesto es ilegal formar $\sum v_i$. Pero una vez que defines $\bigoplus V_i$ e identificas los $V_i$ como subespacios de él, se convierte en "realmente" una suma en algún espacio vectorial.