Manipulación y conversión de proporciones de mezcla

Question

No puedo entender el siguiente cálculo para la relación de grasa total a la relación total de mezcla (sumando los valores del numerador y del denominador y tomando la proporción de los dos valores). Además, no puedo entender lo que está sucediendo en la última línea y cómo han calculado los valores según los requisitos dados desde la proporción. Realmente no puedo descifrar esto, por lo que necesito ayuda y orientación.

Answer 1

Preguntas relacionadas:

si mezclas en igual cantidad bebidas con un contenido de alcohol $40\%$ y $44\%$, ¿cuál es el porcentaje de alcohol de la mezcla?

si mezclas en igual cantidad bebidas con un contenido de alcohol $40\%$, $44\%$ y $51\%$, ¿cuál es el contenido de alcohol de la mezcla?

en una bebida con un contenido de alcohol $40\%$, ¿cuál es la proporción de alcohol a agua?

Si puedes responder a las preguntas anteriores, entenderás tu problema.

Answer 2

Se nos da que las tres leches tienen ratios de grasa:sin grasa $$4:5,\quad 5:6\;\;\text {y }\; 6:7,\tag{*}$$ y se nos pide encontrar el ratio de grasa:sin grasa de una mezcla que contiene cantidades iguales de las tres leches.

• Convertimos los ratios de grasa:sin grasa de las leches a una forma en la que las cantidades de las leches (es decir, contenido combinado de grasa y sin grasa) son más fáciles de comparar y estandarizar: los respectivos ratios de grasa:TotalContents son $$4:9,\quad 5:11\;\;\text {y }\; 6:13\tag1$$$$=572:1287,\quad 585:1287\;\;\text {y }\; 594:1287$$ $(1287$ es el mínimo común múltiplo de $9, 11, 13).$

  Entonces, sus ratios de grasa:sin grasa son $$572:715,\quad 585:702\;\;\text {y }\; 594:693.$$ Así que, una mezcla de $1:1:1$ de las tres leches tiene un ratio de grasa:sin grasa $$(572+585+594):(715+702+693)$$$$=1751:2110.\tag2$$

  Nótese que $(2)$ es simplemente el promedio ponderado $$\frac{715}{2110}\left(\frac{572}{715}\right)+\frac{702}{2110}\left(\frac{585}{702}\right)+\frac{693}{2110}\left(\frac{594}{693}\right)$$ y puede ser derivado alternativamente del promedio simple de $(1):$ $$\frac13\left(\frac49+\frac5{11}+\frac6{13}\right)\;:\;1-\frac13\left(\frac49+\frac5{11}+\frac6{13}\right).$$

Nótese que ni el promedio simple ni el ponderado de $(*)$ resulta en la respuesta correcta, porque las unidades de ratios de los tres ratios no son del mismo tamaño. Para resaltar esto, aquí está una formulación explícita del problema dado:

• Dado que $$(4+5)x=(5+6)y=(6+7)z$$, evaluar $$\frac{4x+5y+6z}{5x+6y+7z}.$$

Para realizar esta evaluación, simplemente expresamos cada uno de $y$ y $z$ en términos de $x,$ los cuales luego se cancelarán para dar la respuesta numérica mencionada anteriormente.