Enfoque para demostrar desigualdades

Question

He leído mucho sobre la teoría de las desigualdades, pero no puedo resolver sumas de ellas del concurso de Matemáticas. ¿Cuál debería ser mi enfoque general para resolverlas? Puedo compartir algunas sumas.

Deja que a, b, c sean números reales positivos tales que $\frac {a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac {c}{1+c}=1$. Demuestra que $abc 1/8$.

$a,b,c$ son números reales con $a+b+c=1$ Demuestra que $\sum_{cyc}{\frac{a}{a²+b³+c³}}\frac{1}{5abc}$

No necesito la solución a estas sumas ya que tengo las soluciones. Pero no puedo resolver sumas de desigualdad de este tipo. ¿Cuál debería ser mi estrategia para resolver estas sumas? Cualquier sugerencia será extremadamente útil.

Answer 1

Creo que entiendo tu problema: dices que comprendes completamente las soluciones, pero no puedes resolver un nuevo problema por ti mismo. Esto sucede porque no intentas resolver un problema con una solución "totalmente comprensible".

¡Solo intenta resolver un problema, para el cual crees que has entendido la solución, y escribe esta solución!

Por ejemplo. Toma un problema del enlace de Dietrich Burde:

Sean \(x,\) \(y\) y \(z\) números positivos, tal que \(x+y+z=3\). Demuestra que:

$$\sum_{\mathrm{cic}}\frac{x}{x^3+y^2+z} \leq 1.$$

1. Intenta resolver este problema por ti mismo sin ver una solución, aunque estés convencido de que has visto la prueba y la has entendido.

2. Si no puedes encontrar una solución, entonces lee una solución y vuelve al paso 1.

3. Si crees que ya conoces una solución al problema, entonces escribe una solución completa.

4. Si no puedes escribir una solución completa, vuelve al paso 1.

Intenta repetir estas cosas hasta el momento en que tengas éxito al escribir una solución completa.

Este es un primer paso. Después de esto, puedes intentar comprender cómo podemos resolver este problema de otra manera, cómo podemos adivinar la solución, cómo podemos crear un problema similar y más.

Hazlo con todos los problemas y empezarás a resolver problemas por ti mismo. ¡Buena suerte!