¿Por qué la desigualdad de Chebyshev da como resultado que la probabilidad de que el ruido laplaciano sea mayor que x esté limitada de esta manera?

Question

Estoy tratando de entender esta prueba de los límites del ruido Laplaciano utilizado en un artículo sobre privacidad diferencial.

Dada una variable aleatoria $Lap\left ( \frac{\Delta f}{\varepsilon } \right )$, aparentemente la probabilidad de que el ruido Laplaciano sea mayor que $x$ está limitada por:

$\mathbb{P}\left [ \left | Lap\left ( \frac{\Delta f}{\epsilon } \right ) \right | > x \right ]= e^{-\frac{x \cdot \epsilon}{\Delta f}}$

La prueba para esto es que la variante a continuación de la desigualdad de Chebyshev "directamente" produce este resultado:

$\mathbb{P}\left [ \left | X - E\left [ X \right ] \right | \geq k^{2}\right ]\leq \frac{\sigma^{2}}{k^{2}}$

El artículo no lo explica, ya que debería ser muy obvio. No es obvio para mí. Esto es lo que he hecho hasta ahora:

$E\left [ X \right ]$ denota el valor esperado.

Si entiendo correctamente $E\left [ X \right ] = 0$ para

También creo que entiendo que $\sigma^{2} = \frac{2\cdot \left ( \Delta f \right )^{2}}{ \epsilon^{2}}$ para $Lap\left ( \frac{\Delta f}{\varepsilon } \right )$

Pero ¿cómo se llega de eso a esto: $e^{-\frac{x \cdot \epsilon}{\Delta f}}$??

Mi primer (y único paso):

$\mathbb{P}\left [ \left | Lap\left ( \frac{\Delta f}{\varepsilon } \right ) \right | \geq x\right ]\leq \frac{\frac{2\cdot \left ( \Delta f \right )^{2}}{ \epsilon^{2}}}{x}$

Aparentemente, el resto debería ser completamente obvio, pero estoy totalmente desconcertado.

Answer 1

Esto se puede mostrar sin la desigualdad de Chebyshev. La pdf de una distribución de Laplace con parámetro de escala $b$ y media $0$ es $f(x) = \frac{1}{2b}e^{-\frac{|x|}{b}}$. Utilizando la simetría de la distribución alrededor de $0$:

$\mathbb{P}(|Lap(b)| > c) = 2\mathbb{P}(Lap(b) > c) = 2\int_c^\infty\frac{e^{-\frac{x}{b}}}{2b}dx = e^{-\frac{c}{b}}$