¿Cómo se puede aplicar la ecuación de Euler-Lagrangian a la Lagrangiana de Schrödinger de varios campos?

Question

En un Lagrangiano como el siguiente:

$$\mathcal{L} = {i} \Psi^*\dot{\Psi} - \frac{1}{2m} \nabla{\Psi} ^* \nabla \Psi.\tag{1}$$

¿Cómo puedo aplicar la ecuación de Euler-Lagrange, mostrada en $(2)$, para obtener una ecuación como $(3)$? No entiendo cómo puedo lidiar con todos los campos diferentes.

$$ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\Psi}}\right)= \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \Psi} \tag{2}$$

$$i \frac{\partial \Psi}{\partial t} = - \frac{\nabla^2}{2m} \Psi \tag{3}$$

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He visto en algunas notas que debo tratar $\Psi$ y $\Psi^*$ como campos diferentes y primero calcular las diferentes derivadas, mostradas en $(4)$:

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\Psi^*}}= i\Psi \hspace{5mm}; \hspace{5mm} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \nabla{\Psi^*}}= - \frac{1}{2m} \nabla \Psi \hspace{5mm} ; \hspace{5mm} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\Psi^*}}= i\dot{\Psi} \tag{4}$$

¿Pero cómo puedo aplicar $(2)$ a estos para obtener $(3)$? ¿Y no necesito el $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \nabla\Psi^*}$ ?

¿Cómo puedo utilizar $(2)$ si no tengo una variable $\Psi$ o un $\dot\Psi^*$ para completar la ecuación?

Answer 1

No estoy 100% seguro de mi respuesta ya que soy nuevo en este tema, pero espero poder ayudar.

Editar: Tu lagrangiano es un poco extraño, como señaló AccidentalTaylorExpansion, así que quizás quieras verificar que esté correcto. Sin embargo, lo siguiente debería aplicarse para el lagrangiano que has dado.

El lagrangiano que tienes es una 'densidad lagrangiana'. Si el lagrangiano es L y la densidad lagrangiana está representada por $\mathcal L$, entonces:

$$ \int L \ dt = \int \mathcal L \ dt dx^3 $$

La ecuación de Euler-Lagrange asociada con la extremización de la acción para la densidad lagrangiana $\mathcal L(\psi, \dot \psi, \partial_{\mu} \psi, \partial_{\mu} \dot \psi)$ se ve un poco diferente (se da por entendida la suma de Einstein):

$$ \frac{\partial}{\partial t} \left ( \frac{\partial \mathcal L}{ \dot \psi } \right) + \frac{\partial}{\partial x^\mu} \left ( \frac{\partial \mathcal L}{ \partial (\partial_{\mu} \psi) } \right) + \frac{\partial^2}{\partial x^\mu \partial t} \left ( \frac{\partial \mathcal L}{ \partial (\partial_{\mu} \dot \psi) } \right) = \frac{\partial \mathcal L}{\partial \psi}$$

Donde $\mu$ varía de 1 a 3 para las tres dimensiones espaciales.

Para campos complejos, se tratan el complejo y su conjugado como dos campos separados. Esto se debe a que hay dos grados de libertad (ver: Ecuación Euler-Lagrange de campo escalar complejo).

Lo que significa que también obtienes la ecuación:$$ \frac{\partial}{\partial t} \left ( \frac{\partial \mathcal L}{ \partial \dot \psi^* } \right) + \frac{\partial}{\partial x^\mu} \left ( \frac{\partial \mathcal L}{ \partial (\partial_{\mu} \psi^*) } \right) + \frac{\partial^2}{\partial x^\mu \partial t} \left ( \frac{\partial \mathcal L}{ \partial (\partial_{\mu} \dot \psi^*) } \right)= \frac{\partial \mathcal L}{\partial \psi^*}$$

Por lo tanto:$$ \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot \psi^* } = 0 $$ $$ \frac{\partial \mathcal L}{ \partial_{\mu} \psi^* } = -\frac{i}{2m} \partial^{\mu} \dot \psi $$ $$ \frac{\partial \mathcal L}{\partial \psi^*} = \frac{1}{2} \dot \psi$$ $$ \frac{\partial \mathcal L}{ \partial (\partial_{\mu} \dot \psi^*) } = 0 $$

Entonces:$$ \dot \psi = -\frac{i}{m} \partial_{\mu} \partial^{\mu} \dot \psi $$

Además, de la ecuación EL con el real $\psi$:

Por lo tanto:$$ \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot \psi } = \frac{i}{2} \psi^* $$ $$ \frac{\partial \mathcal L}{ \partial_{\mu} \psi } = 0 $$ $$ \frac{\partial \mathcal L}{\partial \psi} = 0 $$ $$ \frac{\partial \mathcal L}{ \partial (\partial_{\mu} \dot \psi) } = - \frac{1}{2m} \partial_{\mu} \psi^*$$

Por lo tanto:$$ \frac{i}{2} \dot \psi^* = \frac{1}{2m} \partial_{\mu} \partial^{\mu} \dot \psi^*$$

Answer 2

Intentaré dar una vista un poco más precisa que puede ser confusa al principio, pero valdrá la pena más adelante.

Estás minimizando la acción $S[\psi,\psi^*]$ donde los corchetes cuadrados indican que $S$ es una funcional: un objeto que toma una función como argumento y devuelve un número. Aquí $\psi$ y $\psi^*$ siguen siendo consideradas funciones completamente independientes. En las ecuaciones siguientes omitiré la dependencia de $\psi^*$ ya que de lo contrario sería muy largo, pero puedes fácilmente ponerla de vuelta. La acción entonces se ve así $$S[\psi]=\int\mathrm dx\,\mathcal L(\psi,\dot\psi,\nabla\psi,\nabla\dot\psi)\tag{1}$$ donde $x$ es un vector de cuatro dimensiones, por lo que incluye el tiempo también. Aquí enfatizo que $\mathcal L$ es solo una función regular: toma 4 argumentos y devuelve un número. Podría reemplazar $a,b,c,d$ en lugar de $\psi,\dot\psi,\nabla\psi,\nabla\dot\psi$ en el Lagrangiano (usaré $\psi$ en lugar de $\psi^*$ por brevedad). $$\mathcal L(a,b,c,d)=\frac i 2ab-\frac 1{2m}dc\tag{2}$$ Ahora, para minimizar la acción, tendremos que calcular la derivada funcional. La derivada funcional, $\frac{\delta S}{\delta\psi}( x)$, se define formalmente como $$\int\mathrm d x\frac{\delta S}{\delta \psi}( x)\eta(x)=\lim_{\epsilon\rightarrow\infty}\frac{S[\psi+\epsilon\eta]-S[\psi]}{\epsilon}\tag{3}$$ donde $\eta( x)$ es una función de prueba arbitraria que satisface las condiciones de frontera correctas, en este caso la condición de que $\eta$ tienda a cero cuando $ x\rightarrow\infty$. $\eta$ a menudo se escribe como $\delta\psi$. Ahora podemos calcular $S[\psi+\epsilon\eta]$ expandiendo en serie de Taylor el Lagrangiano: \begin{align} S[\psi+\epsilon\eta]=&\int\mathrm d x\,\mathcal L(\psi+\epsilon\eta,\dot\psi+\epsilon\dot\eta,\nabla\psi+\epsilon\nabla\eta,\nabla\dot\psi+\epsilon\nabla\dot\eta)\\ &=\int\mathrm dx\left[\mathcal L(\psi,\dot\psi,\nabla\psi,\nabla\dot\psi)+\\ \epsilon\,\eta(x)\frac{\partial}{\partial\psi}\mathcal L(\psi,\dot\psi,\nabla\psi,\nabla\dot\psi)+\\ \epsilon\,\dot\eta(x)\frac{\partial}{\partial\dot\psi}\mathcal L(\psi,\dot\psi,\nabla\psi,\nabla\dot\psi)+\\ \epsilon\nabla\eta(x)\frac{\partial}{\partial\nabla\psi}\mathcal L(\psi,\dot\psi,\nabla\psi,\nabla\dot\psi)+\\ \epsilon\nabla\dot\eta(x)\frac{\partial}{\partial\nabla\dot\psi}\mathcal L(\psi,\dot\psi,\nabla\psi,\nabla\dot\psi) \right]\tag{4} \end{align} Esto casi tiene la forma del LHS del (2) pero $\eta$ todavía tiene derivadas actuando sobre ella. Podemos corregir esto integrando por partes para mover la derivada de $\eta$ al otro factor a costa de introducir un signo menos. Sustituyendo esto en (3) obtenemos \begin{align}\int\mathrm d x\frac{\delta S}{\delta \psi}( x)\eta(\mathbf x)&=\int\mathrm dx\left[\frac{\partial\mathcal L}{\partial\psi}-\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot\psi}-\nabla\cdot\left(\frac{\partial\mathcal L}{\partial\nabla\psi}\right)\pm\frac{\partial}{\partial t}\nabla\cdot\left(\frac{\partial\mathcal L}{\partial\nabla\dot\psi}\right)\right]\eta(x) \end{align} Reconocemos el término entre corchetes como la derivada funcional y establecerla en cero nos dará las ecuaciones EL. No estoy seguro si el $\pm$ debería ser más o menos, pero creo que es $+$. Si hubiéramos incluido $\psi^*$ como un campo separado desde el principio, habríamos obtenido una ecuación similar pero con $\psi^*$ en lugar de $\psi$.

Creo que hay un error en tu Lagrangiano y que $\nabla\dot\psi$ debería ser $\nabla\psi$. El factor $\frac i 2\psi^*\dot\psi$ debería ser o bien $i\psi^*\dot\psi$ o $\frac i 2(\psi^*\dot\psi-\psi\dot\psi^*)$. Ver esta pregunta o esta pregunta. Si ahora calculas las EL, obtienes la fórmula deseada.