El Teorema de Maschke establece que toda representación compleja $(\rho,V)$ de un grupo finito $G$ puede ser escrita como una suma directa de representaciones irreducibles que forman subconjuntos de V, de manera tal que $V = V_1 \oplus V_2 \oplus ... \oplus V_N$, donde $V_i$ son representaciones irreducibles de $G$. Esta parece ser una pregunta tonta, pero me gustaría verificar - ¿las representaciones irreducibles de $G$ que se suman directamente tienen que ser subrepresentaciones de $G$ en V bajo el mapa $\rho$ también, o podrían algunas de ellas ser subrepresentaciones bajo un mapa diferente? ¿Es esta "descomposición" de V en una suma directa de representaciones irreducibles única? En caso afirmativo, ¿cómo debería demostrar este hecho? ¿Esta "descomposición" de V incluye todas las representaciones irreducibles en V bajo el mapa $\rho$?
Respuesta
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Supondré que estás trabajando sobre $\mathbb{C}$.
Primero, dado cualquier representación, no es cierto que cada representación irreducible sea un sumando directo. Considera un grupo con $2$ representaciones irreducibles, y luego toma una de ellas.
Segundo, la descomposición de cualquier representación en componentes irreducibles es única, salvo el orden y la isomorfia (ver comentario de Derek abajo). Esto se puede demostrar usando el lema de Schur.
Tu última pregunta es un poco similar a la primera, en el sentido de que no todas las representaciones irreducibles son subrepresentaciones de cualquier representación. Sin embargo, hay una representación especial, llamada la representación regular (G actuando sobre sí mismo por multiplicación izquierda) que sí tiene cada representación irreducible en su descomposición. Además, el número de veces que aparece cada representación irreducible es igual a su dimensión.
