Estoy luchando por entender la conducción del calor. Si tenemos una barra calentada finita donde la temperatura de un extremo se mantiene a una temperatura constante, pero el otro extremo está perfectamente aislado, ¿cómo se verá la distribución de temperatura a lo largo de la barra en un momento específico? ¿Disminuirá a medida que llegue al extremo aislado o se acumulará el calor a lo largo de la barra?
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mmesser314
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Primero, la configuración no está tan claramente establecida como podría estarlo. En un problema como este, esperaría que la barra esté en contacto con un depósito de calor. El calor puede fluir hacia adentro o hacia afuera a través de este límite. Esperaría que el resto de la barra esté aislado para que el calor no pueda fluir dentro o fuera de la barra en otro lugar.
Así que tienes una barra donde un extremo está más caliente que el otro. El calor puede difundirse a lo largo de la barra. Esperaría que la temperatura cambie por un tiempo hasta que alcance un estado en el que el calor se difunda hacia un punto tan rápido como se difunde hacia afuera. Deberías pensar en eso. ¿Qué esperas que sea el estado final? ¿De dónde proviene el calor? ¿A dónde va? ¿Qué esperas que suceda si más calor fluye hacia adentro que hacia afuera?
Típicamente querrías conocer la condición inicial. Para este problema, la temperatura de la barra a menudo es uniforme en todas partes de la barra. Luego, la barra se pone en contacto con el depósito. ¿Es ese el caso en este problema?
También podrías querer determinar las condiciones de contorno. Tienes suficiente información.
Una vez que tengas una imagen más clara, quizás puedas establecer la ecuación de difusión y resolverla.
Hablemos un poco sobre un par de condiciones de contorno ampliamente utilizadas y cómo ciertas configuraciones pueden llevar a ciertos comportamientos esperados y luego a ecuaciones cuantitativas.
Mantengamos tres parámetros en mente: (1) la temperatura en cierto punto (por ejemplo, un extremo, o en algún lugar en el medio), (2) la pendiente de la temperatura en y alrededor del punto, y (3) la curvatura de la temperatura (muy informalmente, una sonrisa o un ceño) en y alrededor del punto.
(Matemáticas: Estos son $T(x_0)$, $\frac{\partial T(x_0)}{\partial x}$, y $\frac{\partial^2T(x_0)}{\partial x^2}$ en el punto $x_0$.)
Primero, un comentario sobre la curvatura: Para la transferencia de calor conductiva, la curvatura en el perfil de temperatura indica que el perfil todavía está cambiando o que se está generando calor dentro del sistema. En ausencia de generación de calor, si se alcanza un estado estable después de un largo tiempo con condiciones de contorno constantes, el perfil de temperatura es una línea recta entre las temperaturas finales (cualquiera que sean, si no se mantienen constantes). En otras palabras, la conducción actúa para suavizar las colinas y valles de la distribución de temperatura.
(Matemáticas: La solución a la ecuación del calor $\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}\sim\frac{\partial T}{\partial t}$ cuando han disminuido las oscilaciones ($\frac{\partial T}{\partial t}\to 0$) es $T(x)=C_1 x+C_2$, donde $C_1$ y $C_2$ son constantes de integrar $\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}=0$. Esto es una línea recta.)
Una condición de contorno de temperatura constante puede ser la más fácil de entender. El sistema toca un gran depósito de alta conductividad térmica a cierta temperatura, lo que hace que ese extremo esté prácticamente "sujeto" a esa temperatura. (Matemáticas: $T(0)$ es una constante, donde tomamos $x=0$ como el extremo en cuestión.) Hay que tener en cuenta que esto no dice nada sobre la pendiente o curvatura del perfil de temperatura en ese extremo del sistema. Sin embargo, siempre podemos decir, basándonos en la ley de Fourier, que el flujo o la transferencia de calor por unidad de área $q$ (en vatios por metro cuadrado, por ejemplo) apunta en sentido opuesto al gradiente de temperatura y está mediado por ese gradiente y la conductividad térmica del sistema $k$. (Matemáticas: $q(x_0,t)=-k\frac{\partial T(x_0)}{\partial x}$.) Esta es información útil, ya que puede que conozcas el flujo o puedas calcularlo en función de lo que sepas sobre el sistema.
Una condición de contorno aislada es el foco de la pregunta original. Esta condición es fácil de visualizar pero quizás más difícil de interpretar. Físicamente, el sistema está adyacente a un material de muy baja conductividad térmica (que también bloquea la convección y la radiación, por completitud). La temperatura no está fija y de hecho es libre de vagar. Sin embargo, dado que el flujo de calor es esencialmente cero a través del aislante, la pendiente de temperatura en el extremo ahora está fija mediante la ley de Fourier, como se discutió anteriormente. (Matemáticas: $-k\frac{\partial T(0)}{\partial x}=0$.) Ahora podemos responder una de las preguntas: ¿cómo será la distribución de temperaturas a lo largo de la barra en un momento específico junto al extremo aislado... No; la distribución de temperatura junto a un área aislada siempre es plana. Ahora, puede que inicialmente muestre o adquiera curvatura cerca de esta área a medida que la conducción de calor actúa transitoriamente dentro de la barra, pero dado que toda curvatura debe desaparecer con el tiempo, el estado estable, si existe, requiere una pendiente constante, y por lo tanto una pendiente cero cuando existe aislamiento.
A partir de esto, podemos abordar ampliamente la pregunta:
Para un sistema con una temperatura constante aplicada en algunas áreas y otras áreas aisladas, finalmente se alcanza un estado estable donde todo el sistema se encuentra a esa temperatura aplicada.
Para un sistema con un flujo de calor constante aplicado en algunas áreas y otras áreas aisladas, no hay un estado estable; la temperatura continúa cambiando debido a la falta de equilibrio energético.
Para un sistema con un flujo de calor constante aplicado en algunas áreas y otras áreas mantenidas a una temperatura constante, el estado estable implica un flujo de calor de salida constante a través de las áreas mantenidas a temperatura constante; este flujo de salida es igual al flujo de entrada total. Una distribución de temperatura no constante surge en respuesta a este flujo, de acuerdo con la ley de Fourier.
¿Esto aclara los puntos sobre los que tenías dudas?
