¿El método para la resolución exacta de la DEs generalizar como este?

Question

Ecuaciones diferenciales de la forma $M\,dx+N\,dy=0$ tal que $\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$ se dice para ser exacto, porque el lado izquierdo de la ecuación es la diferencial exacta de una función f, y la DE una solución de la forma $f(x,y)=c$, donde c es una constante. Los libros de texto estándar nos da un procedimiento para resolver este tipo de ecuaciones que, esencialmente, las cantidades a utilizar la identidad de $f=\int\frac{\partial f}{\partial x}\: dx+\int(\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{\partial}{\partial y}\int\frac{\partial f}{\partial x}\: dx)\: dy$. Específicamente, se integran los M (respectivamente N, &c.) con respecto a x para obtener $f=\int\frac{\partial f}{\partial x}\: dx+C(y)$, y luego se diferencian de este con respecto a y y hacer el álgebra para encontrar C'(y), a la que nos podemos integrar para encontrar C(y), que podemos sustituir de nuevo en nuestra expresión para f.

Se me ocurrió que esta técnica debe generalizar---es decir, cuando en lugar de $M\,dx+N\,dy=0$ tal que $\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$, $\sum_{i}M_{i}\,dx_{i}=0$ cuando la $M_{i}$ satisfacer los criterios para ser una diferencial exacta, entonces podemos de forma iterativa aplicar el mismo procedimiento para resolver la ecuación. Y así se me ocurrió la siguiente---

Teorema (?). Una ecuación diferencial de la forma $\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}=0$ para alguna función f tiene implícita una solución de la forma $f=\sum_{i=1}^{n}a_{i}=c$ donde $a_{0}=0$, $a_{i}=\int\left(\frac{\partial f}{\partial x_{i}}-\frac{\partial}{\partial x_{i}}\left(\sum_{j=1}^{i-1}a_{j}\right)\right)\: dx_{i}$ para $i\in\mathbb{N}_{+}$, y c es una constante arbitraria.

Prueba (?). Por inducción sobre el número de variables n. El teorema es cierto para n=1, debido a que $f=\int\,(\frac{\partial f}{\partial x}-0)\,dx$ por el teorema fundamental del cálculo.

Para completar la inducción, tenemos que mostrar que si $f(x_{1},...,x_{n})=\sum_{i=1}^{n}a_{i}=c$ es una solución a $\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}=0$, $f(x_{1},...,x_{n+1})=\sum_{i=1}^{n+1}a_{i}=c$ es una solución a $\sum_{i=1}^{n+1}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}=0$. Creo que de $f(x_{1},...,x_{n})$ como "caso especial" de $f(x_{1},...,x_{n+1})$ donde $x_{n+1}$ está siendo "tratada como una constante." (Mi pensamiento aquí no es tan precisa como debe ser y estoy sobrecargando el nombre de la función f, pero espero que usted entienda la intuición a la que me dirijo.) Así que podemos decir que $f(x_{1},...,x_{n+1})=\sum_{i=1}^{n}a_{i}+C(x_{n+1})$.

A continuación, se procede de forma análoga como en el caso de dos variables. Diferenciando por $x_{n+1}$ y aplicando el álgebra de los rendimientos de $C'(x_{n+1})=\frac{\partial f}{\partial x_{n+1}}-\frac{\partial}{\partial x_{n+1}}\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\right)$, y luego integrar con respecto a $x_{n+1}$ rendimientos $C(x_{n+1})=\int\left(\frac{\partial f}{\partial x_{n+1}}-\frac{\partial f}{\partial x_{n+1}}\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\right)\right)\: dx_{n+1}$.

Luego, sustituyendo en la anterior expresión para $f(x_{1},...,x_{n+1})$ obtenemos $f(x_{1},...,x_{n+1})=\sum_{i=1}^{n}a_{i}+\int\left(\frac{\partial f}{\partial x_{n+1}}-\frac{\partial f}{\partial x_{n+1}}\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\right)\right)\: dx_{n+1}$, que en virtud de la definición de $a_{i}$ es equivalente a $f(x_{1},...,x_{n+1})=\sum_{i=1}^{n+1}a_{i}$. Pero por el principio de la inducción, esto es quod brindamos demonstrandum.

Ejemplo. En el n=3 caso (y nomenclatura de nuestras variables x, y y z), obtenemos $f(x,y,z)=\int\frac{\partial f}{\partial x}\: dx+\int(\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{\partial}{\partial y}\int\frac{\partial f}{\partial x}\: dx)\: dy$ $+\int(\frac{\partial f}{\partial z}-\frac{\partial}{\partial z}(\int\frac{\partial f}{\partial x}\: dx+\int(\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{\partial}{\partial y}\int\frac{\partial f}{\partial x}\: dx)\: dy))\, dz$, el cual es visto como una identidad mediante la realización de las integraciones. Lo que pasa es que $a_{1}=\int\frac{\partial f}{\partial x}\: dx=f$, y todos los siguientes términos son cero por diseño, por ejemplo, $a_{2}=f-f$.

Así que mi pregunta es (y ofrezco mis más sinceras disculpas si este no es una pregunta apropiada, o si mi pobre exposición se ha prestado mis intenciones prácticamente ilegible) ¿esto parece básicamente correcto, o estoy haciendo algo mal? Y ¿cómo puedo arreglar mi descuidado el razonamiento inductivo paso ("caso especial" ... "tratado como un constante")? Yo estaría muy agradecido por cualquier entrada.

Answer 1

La idea es esencialmente correcta, pero lo que usted escribió necesita algo de edición. Tiene forma independiente redescubierto algunos hermosos matemáticas! Bravo!

Su Teorema (como se indica) tiene mucho más fácil la prueba, pero en su prueba, la dirección en un punto importante que no se menciona en el teorema de la declaración. Hay dos ideas clave que usted realmente necesita para separar. Una vez hecho eso, creo que va a ver cómo limpiar tus argumentos.

En la siguiente, supongo que usted está familiarizado con formas diferenciales y el exterior de derivados, por lo que expresiones como $$ df = \sum \frac{\partial f}{\partial x_i} d x_i$$ seem reasonable to you, but also that you know something about what $d( Adx + Bdy + Cdz)$ is. If not, let me know in a comment, and I will gladly rewrite this in $\mathbb R^3$ using the curl operator ($\nabla \times$).

En primer lugar, acerca de la prueba del teorema usted declaró. Usted necesita pensar acerca de lo que significa la ecuación diferencial $$A dx + Bdy = 0.$$ Obviously, you can "divide through" by $dx$ and then get an ordinary differential equation written in the normal way. Another way of seeing it is to say that you are looking for a parametrized curve $( x(t), y(t) )$ such that the tangent vector $(x'(t), y'(t))$ satisface $$ 0 = A d x + B dy = A x'(t) dt + B y'(t) dt = (Ax'(t) + By'(t)) dt.$$ En otras palabras, queremos una curva de $(x(t), y(t))$, de manera que su vector tangente es ortogonal a los vectores $(A(x,y), B(x,y))$. Si por casualidad usted conoce que $(A, B) = \nabla f$ para algunos la función $f$ ( $df = Adx + Bdy$ ), a continuación, usted tiene definidas implícitamente soluciones dadas por $f = c$ para cualquier constante $c$, ya que el $\nabla f$ es ortogonal conjuntos de nivel de $f$!

En las dimensiones superiores, en esta imagen se generaliza a la perfección. La solución a una ecuación dada por $$ Adx + B dy + Cdz = 0$$ is going to be a surface in $\mathbb R^3$. If the differential form $Adx + Bdy + Cdz = df$ then by the same reasoning as above, level sets of $f$ le dará las superficies que satisfacen esta ecuación.

Ahora el punto importante que la dirección de la prueba, pero en los que no se menciona en el teorema de la declaración (pero que no mencionan en el texto anterior el teorema de la declaración). Esto es algo que se llama la Poincaré Lema. Un caso especial de esto dice que en $\mathbb R^n$, si usted tiene un diferencial de 1 formulario a- $\alpha$ $d\alpha = 0$ $\alpha = df$ para algunos la función $f$. Usted tiene todas las ideas clave de la prueba de este "lema" al acecho en su prueba. (Se llama lexema, pero es un resultado clave en la geometría diferencial y topología diferencial.)

(El Poincaré Lema no se sostiene si usted trabaja en un espacio con "agujeros". E. g. considere la posibilidad de la 1-forma dada por la $$\alpha := -\frac{y}{x^2+y^2} dx + \frac{x}{x^2+y^2} dy.$$ Esto ha $d \alpha = 0$, pero usted no puede encontrar una función de modo que $\alpha = df$.)

De manera más general, se puede definir un (parcial) de la ecuación diferencial en $\mathbb R^n$ tomando $k$ diferencial de 1-formas $\alpha_i, i=1\dots k$, y pidiendo a encontrar una superficie $S$ con la propiedad de que todos los vectores $v$ tangente a $S$ satisface $\alpha_i(v) = 0$$i=1 \dots k$. La condición para encontrar una solución se llama el Frobenius teorema de integrabilidad y el caso especial cuando $k=1$ es el requisito de que $d\alpha_1 = 0$. Generalmente, esto es un tema que veremos en un diferencial de la clase de geometría.