Integrar $\int{ \frac{r}{(h^2 + r^2 - 2^{1/2}hr)^{1/2}} dr }$

Question

Esta integral proviene de un libro de física al calcular la diferencia de potencial entre el vértice y el centro de un cono. No soy bueno en integración. Por favor ayuda.

actualización:

Esta es la respuesta requerida. La segunda integral está en forma de ln. He llegado allí usando la fórmula requerida pero la ecuación dentro del ln es menor por un factor de $2$. ¿Qué estoy haciendo mal?

Además, ¿cómo se deriva la fórmula para ln?

Answer 1

$$\int{ \frac{r}{(h^2 + r^2 - 2^{1/2}hr)^{1/2}} dr }$$ $$=\frac{1}{2}\int{ \frac{2r-\sqrt{2}h+\sqrt{2}h}{(h^2 + r^2 - \sqrt{2}hr)^{1/2}} dr }$$ $$=\frac{1}{2}\int{ \frac{2r-\sqrt{2}h}{(h^2 + r^2 - \sqrt{2}hr)^{1/2}} dr }+\frac{1}{2}\int{ \frac{\sqrt{2}h}{(h^2 + r^2 - \sqrt{2}hr)^{1/2}} dr }$$ Intente una sustitución $u$ en el primero, y completando el cuadrado + sustitución trigonométrica en el segundo. Si no está familiarizado con estas técnicas, hay referencias fácilmente disponibles en internet.

Answer 2

Déjame escribir tu integral como $$ \int \frac{x}{\sqrt{x^2-\sqrt{2}ax+a^2}}dx$$ Luego primero considera el cambio de variable $u={x^2-\sqrt{2}ax+a^2} $, entonces $du=(2x-\sqrt{2}a )dx$, así la integral se convierte en: $$ \int \frac{x}{\sqrt{x^2-\sqrt{2}ax+a^2}}dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x-\sqrt{2}a+\sqrt{2}a}{\sqrt{x^2-\sqrt{2}ax+a^2}}dx=$$ $$\frac{1}{2} \int \frac{2x-\sqrt{2}a}{\sqrt{x^2-\sqrt{2}ax+a^2}}dx + \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{x^2-\sqrt{2}ax+a^2}}dx = $$ $$ \frac{1}{2} \int \frac{du}{\sqrt{u}} + \frac{a}{\sqrt{2}} \int \frac{1}{\sqrt{x^2-\sqrt{2}ax+a^2}}dx $$ La primera integral es simplemente $\sqrt{u}$, de nuevo al variable inicial, la primera integral es $\sqrt{x^2-\sqrt{2}ax+a^2}$.

Ahora, considera la segunda integral, y utiliza completar el cuadrado en el denominador $$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-\sqrt{2}ax+a^2}} = \int \frac{dx}{\sqrt{x^2-\sqrt{2}ax+ \frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{2}}}= \int \frac{dx}{\sqrt{(x-\frac{a}{\sqrt{2}})^2+ \frac{a^2}{2}}}= \int \frac{dx}{\frac{a}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{2}{a^2}(x-\frac{a}{\sqrt{2}})^2+ 1}} =\frac{\sqrt{2}}{a}\int \frac{dx}{\sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{a}x-1)^2+ 1}} $$ sea $v= \frac{\sqrt{2}}{a}x-1$, luego $dv=\frac{\sqrt{2}}{a} dx $, y así esta última integral puede escribirse como $$ \int \frac{dv}{\sqrt{v^2+1}}= arsinh(v) $$ entonces tu integral final es
$$ \int \frac{x}{\sqrt{x^2-\sqrt{2}ax+a^2}}dx=\sqrt{x^2-\sqrt{2}ax+a^2} +\frac{a}{\sqrt{2}} arcsinh\Big(\frac{\sqrt{2}}{a}x-1 \Big) +C$$