Cuando te refieres a que hay dos longitudes de correlación diferentes en dos direcciones ortogonales, asumo que lo que quieres decir es que las funciones de correlación toman la forma $$ G(x, y) = \exp \left[- x / \xi_x - y / \xi_y \right] $$ a largas distancias (avísame si tienes algo más en mente). Ahora, si consideras el decaimiento de las correlaciones a lo largo de alguna dirección $u = cos(\theta)e_x + sin(\theta) e_y$ en el espacio, entonces la función de correlación decaerá como $$ G(r, \theta) = \exp \left[- \left(\cos(\theta) / \xi_x + \sin(\theta) / \xi_y \right) r \right], $$ donde estoy considerando $\theta$ fijo y $r$ la distancia euclidiana entre los dos puntos considerados en la función de correlación. Luego identificamos la longitud de correlación en la dirección $u$ como $$ \xi_u = \left(\cos(\theta) / \xi_x + \sin(\theta) / \xi_y \right)^{-1}. $$
Ahora, al acercarnos al punto crítico, las longitudes de correlación divergen como $\xi_x = c_x t^{-\nu_x}$ y $\xi_y = c_y t^{-\nu_y}$ con algunas constantes no universales $c_{x, y}$ . Digamos que he elegido coordenadas de manera que $\nu_x > \nu_y$ . Entonces podemos escribir $$ \xi_u = \left( \cos(\theta) / \xi_x + \sin(\theta) / \xi_y \right)^{-1} = t^{-\nu_y} \left( c_x^{-1} \cos(\theta) t^{\nu_x - \nu_y} + c_y^{-1} \sin(\theta) \right)^{-1}. $$ Como $\nu_x > \nu_y$ , la cantidad entre paréntesis va suavemente hacia una constante a medida que $t \rightarrow 0^+$ , y encontramos que la longitud de correlación diverge como $$ \xi_u = \frac{c_y}{\sin \theta} \ t^{-\nu_y}. $$
Entonces, si consideramos la longitud de correlación en una dirección arbitraria, diverge con el menor de los dos exponentes críticos $\nu_x$ y $\nu_y$ (a menos que sea paralela a la dirección con el $ \nu$ más grande).
