Calculando la serie de Laurent para $1/z^2$ alrededor de $z_0=1"

Question

Estoy tratando de calcular la serie de Laurent de $f(z) = 1/z^2$ en torno al punto $z_0=1$. Según mis apuntes, parece que debo calcular una serie para $|z-1| < 1$ y otra para $|z-1|>1$, debido a la singularidad en el punto $1$.

¿Alguien podría mostrarme cómo calcular cada una de estas series? Estoy un poco confundido sobre por dónde empezar.

EDICIÓN: El problema dice "Escribir todas las series de Laurent de las siguientes funciones en anillos centrados en $z_0$", así que siento que debería haber dos series: una válida para $|z-1|<1$ y otra válida para $|z-1|>1$.

Answer 1

$z_0=1$ no es una singularidad para $f(z)=\frac{1}{z^2}$, por lo tanto, la serie de Laurent es simplemente una serie de Taylor, y ya que: $$\frac{1}{(1-z)^2} = 1+2z+3z^2+\ldots = \sum_{j=0}^{+\infty}(j+1)z^j$$ alrededor del origen, tenemos: $$\frac{1}{z^2}=\sum_{j=0}^{+\infty}(-1)^j(j+1)(z-1)^j$$ alrededor de uno. Puedes verificar que el radio de convergencia, uno, es exactamente la distancia desde la singularidad más cercana, el origen.

Answer 2

El resultado que buscas se puede encontrar utilizando el mismo método que en la respuesta anterior.

Para $|z| > 1$ tenemos

$$\frac{1}{(1-z)^2} = \frac{1}{z^2}\frac{1}{(1-1/z)^2} = \sum_{j=0}^\infty (j+1)\left(\frac{1}{z}\right)^{j+2}$$

así que

$$\frac{1}{z^2} = \sum_{j=0}^\infty (-1)^j(j+1)\left(\frac{1}{z-1}\right)^{j+2}$$

para $|z-1| > 1$