Si $R$ es un anillo conmutativo con unidad y $R$ tiene sólo un ideal maximal, a continuación, mostrar que la ecuación de $x^2=x$ sólo tiene dos soluciones

Question

Si $R$ es un anillo conmutativo con unidad y $R$ tiene sólo un ideal maximal, a continuación, mostrar que la ecuación de $x^2=x$ sólo tiene dos soluciones.

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Sé que $0$ $1$ son las soluciones, pero no puedo pasar de ahí.

Answer 1

Deje $M$ ser el ideal maximal de a $R.$ $R= \{ units \} \cup M.$ Ahora supongamos $x(x-1)=0.$ Si $x$ es una unidad, a continuación, multiplicando por el inverso de da $x=1.$ Si $x-1$ es una unidad, a continuación, multiplicar por su inverso da $x=0.$ si $x\neq 0,1$ es para solucionar $x(x-1)=0$ $x$ $x-1$ ambos son no las unidades, y por lo tanto ambos en $M.$ Pero, a continuación, $ 1= x - (x-1)\in M$ lo cual es un disparate.

Answer 2

Supongamos que $r \in R$ satisface $r^2=r$. Desde $(r)+(1-r)=R$, uno de los principales ideales de la $(r)$ o $(1-r)$ no está contenido en el ideal maximal $M$. Pero, a continuación, $(r)=R$ o $(1-r) = R$, es decir, $r$ o $1-r$ es una unidad.

Si $x$ es una unidad de satisfacciones $x^2=x$, $x=1$ (dividiendo por $x$). Por lo tanto $r=1$ o $1-r=1$.