Ejemplos de módulos $\mathcal{O}_X$ que no son haces cuasi-coherentes

Question

Sea $X = \operatorname{Spec} k[x]_{(x)}$, que consiste en dos elementos, el punto genérico $\zeta$ correspondiente al ideal cero y el punto cerrado $(x)$. Defina un $\mathcal{O}_X$-módulo $\mathcal{F}$ estableciendo $\mathcal{F}(X) = \{0\}$ y $\mathcal{F}(\zeta) = k(x)$. Ahora $\mathcal{F}$ no es una gavilla cuasi-coherente porque si $\mathcal{F}|_{\operatorname{Spec} k[x]_{(x)}} = \mathcal{F}$ es isomorfo a $\widetilde{M}$ para algún módulo $A$-módulo $M$, $\mathcal{F}(X) = 0$ implica que $\widetilde{M}(X) = M = 0$. Pero ahora $\mathcal{F}(\zeta)$ no puede ser isomorfo a $\widetilde{M}(\zeta)$ porque uno es no nulo mientras que el otro es cero. Así que $\mathcal{F} \notin \operatorname{QCoh}(X)$.

¿Existen otros ejemplos de $\mathcal{O}_X$-módulos que no sean gavillas cuasi-coherentes?

Answer 1

Sea $A$ un anillo de valuación discreta (por ejemplo, su $\operatorname{Spec} k[x]_{(x)}$), $\;X=\operatorname{Spec} (A)=\{\zeta, f\}$ el esquema afín correspondiente ( $f$ el punto cerrado, $\zeta $ el punto genérico ) y $U=\{\zeta\}$ el único subconjunto abierto de $X$ que no es vacío ni completo.

Un módulo $ \mathcal{O}_X$ $\mathcal{F}$ consiste en un módulo $A$ $M (=\mathcal F(X))$, un módulo $K=Frac(A)$ $N(=\mathcal F(U))$ y un mapa lineal $A$ $M\to N$ correspondiente a la restricción del haz.
[Nota el hecho curioso e inusual de que todo prehaz en $X$ es automáticamente un haz ya que $X$ no tiene cubrimiento no trivial!]
Estos datos dan lugar automáticamente a un morfismo canónico de espacios vectoriales de $K$ $$F:M\otimes_AK\to N $$ Caracterización de la cuasi-coherencia
El haz $\mathcal F$ es cuasi-coherente si y solo si $F$ es biyectivo.

¡Y ahora puedes presumir de que puedes describir todos los haces cuasi-coherentes en $X¡

Answer 2

Dado que @Benja pregunta, aquí tienes un ejemplo de un prehaz no cuasi-coherente $\mathcal I$ en el espectro de un anillo que no es un anillo de valuación discreta, es decir, $X=Spec (k[T])=\mathbb A^1_k$ ($k$ un campo):

Consideremos el origen $O\in X=\mathbb A^1_k$ correspondiente al ideal maximal $(T)\subset k[T]$ y definimos el subprehaz ideal $\mathcal I(U)\subset \mathcal O_X(U)$ por:

$\begin{cases} \mathcal I(U)= \mathcal O_X(U)\;\text {si}\; O\notin U \\ \mathcal I(U)= 0\;\text {si} \; O\in U \end{cases} $

El prehaz $\mathcal I$ no es cuasi-coherente porque $\mathcal I\neq 0$ aunque $\mathcal I(X)=0.

Answer 3

Sea $R$ un anillo de valoración discreta y $X=\mathrm{Spec}(R)$. Por lo tanto, como conjunto, tenemos $X=\{\eta, x\}$. La topología es tal que $x$ es cerrado, pero $\eta$ no lo es (en otras palabras, es el espacio de Sierpinski). El haz de estructura está dado por $\mathcal{O}(\emptyset)=0$, $\mathcal{O}(\{\eta\})=\mathcal{O}_{\eta}=K$, el cuerpo de fracciones de $R$, y $\mathcal{O}(X)=R$. Un módulo $\mathcal{O}$ corresponde a un $R$-módulo $A$ (secciones globales) y un $K$-módulo $B$ (secciones en $\{\eta\}$) equipado con un homomorfismo de $R$-módulos $A \to B|_R$ (restricción), o equivalentemente un homomorfismo de $K$-módulos $\vartheta : A \otimes_R K \to B$. Es cuasi-coherente si $\vartheta$ es un isomorfismo. Esto da muchos ejemplos de módulos $\mathcal{O}$ que no son cuasi-coherentes. Por ejemplo, $\vartheta$ podría ser cero, etc.