Encuentra y verifica las inversas (si existen) de estas matrices de bloque:

Question

Esta es la pregunta 34 en la sección 2.5 del libro de Álgebra Lineal de Gilbert Strang. Las matrices son:

$\begin{bmatrix} I & 0\\ C & I \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} A & 0\\ C & D \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 & I\\ I & D \end{bmatrix}$

¿Cómo procederías para encontrar la inversa de las matrices por bloques en general? El manual de instrucciones brinda las siguientes soluciones, pero no hay explicación de cómo se calcularon:

$\begin{bmatrix} I & 0\\ -C & I \end{bmatrix}$ y $\begin{bmatrix} A^{-1} & 0\\ -D^{-1}CA^{-1} & D^{-1} \end{bmatrix}$ y $\begin{bmatrix} -D & I\\ I & 0 \end{bmatrix}$

¡Gracias de antemano por tu ayuda!

Answer 1

Hagamos el primero. Sea $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ la matriz inversa, lo que significa que $$\begin{bmatrix} I & 0 \\ C & I \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I & 0 \\ 0 & I \end{bmatrix}$$ Expandiendo el producto (asumo que $I$ es el elemento identidad del campo sobre el cual están definidas las matrices) obtenemos $$\begin{bmatrix} a & b \\ aC + c & bC + d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I & 0 \\ 0 & I \end{bmatrix}$$ Esto nos da un sistema de cuatro ecuaciones en cuatro incógnitas, a saber $$\begin{cases} a = I \\ b = 0 \\ aC + c = 0 \\ bC + d = I \end{cases}$$ Resolviendo para $a, \: b, \: c, \: d$ (bastante fácil) obtenemos $a = I$, $b = 0$, $c = -C$, $d = I$, y por lo tanto la inversa es $\begin{bmatrix} I & 0 \\ -C & I \end{bmatrix}$.

Ahora intenta los otros por ti mismo usando el mismo método.