Podemos demostrar que la matriz $\bf{W}$ de la forma cuadrática $x^T {\bf{W}} x$ se puede asumir que es simétrica de la siguiente manera:
En general, una matriz se puede descomponer en una parte simétrica y una parte antisimétrica de la siguiente manera:
$$M = \frac{1}{2} ( {\bf{M}} + {\bf{M}}^\top) + \frac{1}{2} ({\bf{M}} - {\bf{M}}^\top) = M_s + M_a$$
Además, notamos que la parte simétrica es invariante ante la transposición, $$ {\bf{M}}_s^\top = {\bf{M}}_s $$ mientras que la parte antisimétrica cambia de signo bajo la transposición: $$ {\bf{M}}_a^\top = - {\bf{M}}_a$$
Examinemos la forma cuadrática de una matriz puramente antisimétrica: $$q = {\bf x}^\top {\bf M}_a {\bf x} = ({{\bf x}^\top {\bf M}_a^\top {\bf x}})^\top = -({\bf x}^\top {\bf M}_a {\bf x})^\top = -q$$ Lo que implica que $q=0$ debe ser verdadero.
Ahora, para una matriz general $\bf W$ podemos ver que: $${\bf x}^\top {\bf M} {\bf x} = {\bf x}^\top ({\bf M}_s + {\bf M}_a){\bf x} = {\bf x}^\top {\bf M}_s {\bf x} + {\bf x}^\top {\bf M}_a {\bf x}$$ Como sabemos que $${\bf x}^\top {\bf M}_a {\bf x} = 0$$ finalmente encontramos que $${\bf x}^\top {\bf M} {\bf x} = {\bf x}^\top {\bf M}_s {\bf x}$$
