Marginalización de un parámetro en Gaussiano

Question

Si $\theta \sim N(\mu,\sigma_o^2)$ y $\mu \sim N(0, \sigma_1^2)$ ¿cuál es el $P(\theta)$ marginalizado?

¿Es $N(0,\sigma_o^2+\sigma_1^2)$?

Answer 1

Es frecuente ver que alguien escribe cosas como "$\theta\sim N(\mu,\sigma_0^2)$ y $\mu\sim N(0,\sigma_1^2)$" cuando debería escribir "$\theta\mid\mu\sim N(\mu,\sigma_0^2)$ y $\mu\sim N(0,\sigma_1^2)$", es decir, la distribución condicional de $\theta$ dado $\mu$ es esa distribución normal.

Ahora piensa en la distribución condicional de $\theta-\mu$ dado el valor de $\mu$. Cuando estamos condicionando en $\mu$, tratamos $\mu$ como una constante, entonces obtenemos $(\theta-\mu)\mid\mu \sim N(0,\sigma_0^2)$. Ahora nota que la distribución condicional de $\theta-\mu$ dado $\mu$ en realidad no depende de $\mu. Eso implica que $\theta-\mu$ es independiente de $\mu. También implica que la distribución marginal de $\theta-\mu$ es la misma que esa distribución condicional. Entonces $\theta$ es la suma de dos variables aleatorias normalmente distribuidas independientes, $\theta-\mu$ y $\mu$, y conoces sus distribuciones. Ahora procede como lo harías siempre que quieras saber la distribución de la suma de dos variables aleatorias normalmente distribuidas independientes cuyas distribuciones conoces.