Cómo calcular el espacio topológico de fibrado producto de esquemas?

Question

Sé que el espacio topológico de fibrado producto de los esquemas es generalmente distinta a la habitual producto Cartesiano de toplogical espacios de esquemas. Entonces, ¿cómo podemos calcular la parte superior. sp. de fibrado producto de sch. explícitamente? ¿Hay algún procedimiento sistemático que puedo hacer?

En realidad, esta cuestión se plantea a partir de cuando leí el Hartshorne de la Geometría Algebraica. En la sección 4, en el Capítulo 2, en el ejemplo se dice que los afín a la línea con el doble de origen(me puede denotar por X) no está separado sobre el campo k. En la explicación del libro, puedo ver que la parte superior. sp. de la fibrado producto de dos X . Sin embargo, no puedo entender cómo se calcula. (Si desea que el exacto de la declaración, vea la pag.96 de Hartshorne)

Answer 1

Si $X,Y$ son localmente anillado de los espacios a través de una localmente anillado espacio de $S$, entonces uno puede escribir su producto de fibra de $X \times_S Y$ explícitamente. Si $X,Y,S$ son esquemas, entonces este producto de fibra es un esquema, por lo que es el producto de fibra en la categoría de esquemas. Esto proporciona una alternativa (y en mi opinión mucho mejor) construcción del producto de fibra de esquemas que no es muy conocida como debe ser. Usted puede encontrar aquí. Permítanme esbozar:

Deje $f : X \to S$$g : Y \to S$. El conjunto subyacente de $X \times_S Y$ se compone de los triples $(x,y,s,\mathfrak{p})$ donde $(x,y,s)$ se encuentra en el subyacente topológico producto de fibra, es decir,$x \in X, y \in Y, s \in S$$f(x)=s=g(y)$, e $\mathfrak{p}$ es un alojamiento ideal en $\kappa(x) \otimes_{\kappa(s)} \kappa(y)$, el producto tensor de los residuos de los campos. En otras palabras, la fibra del mapa de $X \times_S Y$ a la topológico producto de fibra es, precisamente, $\mathrm{Spec}(\kappa(x) \otimes_{\kappa(s)} \kappa(y))$ en el punto de $(x,y,s)$. Tenga en cuenta que $\mathfrak{p}$ también puede ser equivalentemente, descrito como un primer ideal $\mathfrak{q}$ en el producto tensor de la local de anillos de $\mathcal{O}_{X,x} \otimes_{\mathcal{O}_{S,s}} \mathcal{O}_{Y,y}$, lo que restringe la máxima ideales en $\mathcal{O}_{X,x}$ $\mathcal{O}_{Y,y}$ (y por tanto también en $\mathcal{O}_{S,s}$, ya que el $f^\#_x$ $g^\#_y$ son locales).

La topología se ve de la siguiente manera: Si $U \times_T V$ es un subconjunto abierto básicos de la topológico de fibra de producto (es decir, $U \subseteq X, V \subseteq Y, T \subseteq S$ abierto wih $f(U) \subseteq T \supseteq g(V)$) y $f \in \mathcal{O}_X(U) \otimes_{\mathcal{O}_S(T)} \mathcal{O}_Y(V)$, $\Omega(U,V,T,f) \subseteq X \times_S Y$ se compone de los $(x,y,s,\mathfrak{q})$ tal que $x \in U, y \in V, s \in T$ y que la imagen de $f$ $\mathcal{O}_{X,x} \otimes_{\mathcal{O}_{S,s}} \mathcal{O}_{Y,y}$ no está contenido en $\mathfrak{q}$. Estos conjuntos forman una base para una topología en $X \times_S Y$. La estructura de la gavilla se define de tal manera que en el local de anillos de $\mathcal{O}_{X \times_S Y,(x,y,s,\mathfrak{q})} = (\mathcal{O}_{X,x} \otimes_{\mathcal{O}_{S,s}} \mathcal{O}_{Y,y})_{\mathfrak{q}}$. Una sección general en $\mathcal{O}_{X \times_S Y}$ es una función con valores de estos tallos, que a nivel local es una fracción.

Por supuesto, todo esto no es necesario para ver que los afín a la línea con el doble de origen no está separado. Y una vez más no puedo recomendamos la lectura de Hartshorne de los conceptos básicos de la geometría algebraica. Si $X_1$ $X_2$ son iguales afín esquemas y $U$ es una subscheme, a continuación, $X=X_1 \cup_U X_2$ está separado iff $X_1 \times_X X_2 = X_1 \cap X_2 = U$ es afín, y $U \to X_1 \times X_2$ es un cerrado de inmersión. En particular, el afín a la línea con un doble origen no está separado.

Answer 2

Usted puede leer la construcción precisa en Hartshorne la prueba de la existencia de la fibra del producto. Supongamos que tenemos $S$-esquemas $X \xrightarrow{f} S$$Y \xrightarrow{g} S$. Deje $S = \bigcup_i W_i$ ser afín a abra la cubierta y también tomar afín abra las cubiertas $f^{-1}(W_i) = \bigcup_{j} U_{ij}$ $g^{-1}(W_i) = \bigcup_{j} V_{ij}$ por cada $i$. Los productos de fibra de $U_{ij} \times_{W_i} V_{ij}$ son sólo los espectros del tensor de productos de las coordenadas de los anillos. Ahora el producto de fibra de $X \times_S Y$ es construido por el encolado de estos afín a sistemas, en ciertos subconjuntos abiertos, primero a$f^{-1}(W_i) \times_{W_i} V_{ij}$,$f^{-1}(W_i) \times_{W_i} g^{-1}(W_i)$, y, finalmente, sobre la base de a $X \times_S Y$. Usted puede leer acerca de la pegadura de la construcción en (Marco Lo Guidice notas, 2.3).

Básicamente, dado esquemas $X$ $Y$ con subconjuntos abiertos $U \subset X$, $V \subset Y$ y un isomorfismo $\phi : U \stackrel{\sim}{\to} V$, uno de los constructos subyacentes topológica del espacio de la pegadura por tomar la inconexión de la unión de los espacios quotiented por la relación de equivalencia de la identificación de $u \sim \phi(u)$ por cada $u \in U$.

Sucede que tengo un detallado de la construcción de la fibra de producto de los afín a la línea con el doble de origen con el mismo que escribí para la tarea en algún momento, aquí está. Sólo he copiado y pegado sin corrección de nuevo, así que puede haber errores tipográficos, etc. $\newcommand{Spec}{\mathrm{Spec}\ }$

Considerar los afín a los esquemas de $X_1 = \Spec k[x]$, $X_2 = \Spec k[y]$. Entre la apertura de los subconjuntos de a $U_1 = \{ (x - a) : a \ne 0 \} \subset X_1$ $U_2 = \{ (y - b) : b \ne 0 \} \subset X_2$ hay un isomorfismo natural $\phi : U_1 \to U_2$. Deje $X$ ser el esquema obtenido por encolado $X_1$ $X_2$ a lo largo de $\phi$. Topológicamente, sus puntos son clases de equivalencia de la inconexión de la unión de $X_1$ $X_2$ por la relación $\sim$ menores que los puntos de $(x - a)$ son identificados con sus imágenes de $(y - a)$$a \ne 0$. Deje $\bar{U_i} \subset X$ ser las imágenes de $U_i$ por el natural mapas de $X_i \to X$. Nota:$\bar{U_1} \cap \bar{U_2} = \{ [(x - a)] : a \ne 0 \}$.

Para calcular el producto de fibra de $X$ con la misma a lo largo de $\Spec k$, le sigue la construcción de Hartshorne de la fibra de producto de los esquemas generales: en primer lugar, pegamento $X_1 \times_k X_1$ $X_2 \times_k X_1$ por ciertos abierto se ajusta para obtener $X \times_k X_1$, y pegamos $X_1 \times_k X_2$ $X_2 \times_k X_2$ obtener $X \times_k X_2$, y luego de pegamento estos juntos para la obtención de $X \times_k X$. Podemos calcular $X_1 \times_k X_1 = \Spec k[x] \otimes k[x] \cong \Spec k[t_1, t_2]$$X_2 \times_k X_1 = \Spec k[y] \otimes k[x] \cong \Spec k[t_3, t_4]$. Deje $p_1$ ser el primer mapa de proyección asociados con $X_1 \times_k X_1$. Nota: $p_1$ mapas de la equivalencia de la clase $[(x-a)] = \{(x - a), (y - a)\} \in X$ $(x - a) \in X_1$y la clase$[(0)] = \{(0)\}$$(0) \in X_1$. Ahora consideremos el conjunto abierto $U_1' = p_1^{-1} (\bar{U_1} \cap \bar{U_2}) = \{ (t_1 - a, t_2 - b) : a \ne 0, b \in k \}$. Del mismo modo vamos a $U_2' = p_2^{-1} (\bar{U_1} \cap \bar{U_2}) = \{ (t_3 - a, t_4 - b) : a \ne 0, b \in k \}$ donde $p_2$ es el primer mapa de proyección asociados con $X_2 \times_k X_1$. Hartshorne muestra que el resultado de encolado $X_1 \times_k X_1$ $X_2 \times_k X_1$ a través de la natural isomorfismo $\phi' : U_1' \to U_2'$ es el producto de fibra de $X \times_k X_1$. Topológicamente encontramos es distinto de la unión de $X_1 \times_k X_1$ $X_2 \times_k X_1$ $(t_1 - a, t_2 - b)$ identificado con $(t_3 - a, t_4 - b)$ todos los $a \ne 0, b \in k$. De forma análoga podemos encontrar $X \times_k X_2$ a ser distinto de la unión de $X_1 \times_k X_2$ $X_2 \times_k X_2$ $(t_1 - a, t_2 - b)$ identificado con $(t_3 - a, t_4 - b)$ todos los $a \in k, b \ne 0$.

Ahora pegamos $X \times_k X_1$$X \times_k X_2$. Deje $q_1$ $q_2$ ser la segunda proyección de mapas asociados con$X \times_k X_1$$X \times_k X_2$, respectivamente. Tenga en cuenta que $q_1$ mapas de clases de equivalencia $[(t_1 - a, t_2 - b)]$ $[(t_3 - a, t_4 - b)]$ $(x - b) \in X_1$y de manera similar a $q_2$ mapas a $(y - b) \in X_2$. Deje $U_1'' = q_1^{-1} (\bar{U_1} \cap \bar{U_2})$. Este se compone de clases de equivalencia $[(t_1 - a, t_2 - b)] = [(t_3 - a, t_4 - b)]$ con $a \ne 0$, $b \ne 0$, y clases $[(t_1, t_2 - b)]$, $[(t_3, t_4 - b)]$ con $b \ne 0$. Del mismo modo vamos a $U_2'' = q_2^{-1} (\bar{U_1} \cap \bar{U_2})$ se compone de las clases de equivalencia $[(t_1 - a, t_2 - b)] = [(t_3 - a, t_4 - b)]$$a \ne 0, b \ne 0$$[(t_1 - a, t_2)]$$[(t_3 - a, t_4)]$$a \ne 0$. Tenemos un isomorfismo $\phi'' : U_1'' \to U_2''$ que se asigna a$[(t_1 - a, t_2 - b)] \mapsto [(t_1 - b, t_2 - a)]$$[(t_3 - a, t_4 - b)] \mapsto [(t_3 - b, t_4 - a)]$. El resultado de encolado $X \times_k X_1$ $X \times_k X_2$ través $\phi''$ es el producto de fibra de $X \times_k X$.