Cómo determinar la respuesta en estado estacionario sinusoidal a partir del diagrama de Bode

Question

Me dan un problema por lo siguiente:

Encuentra la respuesta en estado estacionario sinusoidal (en el dominio del tiempo) de los siguientes sistemas modelados por la función de transferencia, P(s), a la entrada u(t). Utiliza el gráfico de Bode (en Matlab bode.m) de la respuesta en frecuencia en lugar de resolver la integral de convolución de la transformada inversa de Laplace.

$$ P(S) = 11.4/(s+1.4), u(t) = cos(5t) $$

Estoy un poco confundido por la pregunta porque pensé que el gráfico de Bode es la definición de la respuesta en estado estacionario, pero me pide que lo encuentre en el dominio del tiempo. ¿Es posible tal cosa? De todos modos, al trazar esto en matlab me da lo siguiente:

$$ Y(S) = P(S)U(S) $$

de donde la transformada de Laplace

$$ U(S) = s/(s^2+25) $$

Y =

           11.4 s
  -------------------------
  s^3 + 1.4 s^2 + 25 s + 35

Función de transferencia de tiempo continuo.

>> bode(Y), grid

Esto tampoco parece un gráfico de Bode típico (¿Quizás porque la salida es de tercer orden?) ¿Qué puedo inferir de esta representación del gráfico de bode?

Editar: Este es un gráfico de Bode solo para P(s)

En w = 5, parece que la fase es de -75 grados y la magnitud de 7db

Dado que la magnitud está en db, la respuesta en estado estacionario final en el dominio del tiempo es

$$ Y_sss(t) = 2.24cos(5t - 75^{\circ}) $$

¿En serio? ¿Es así de simple?

Answer 1

Es un sistema lineal, por lo que un seno de entrada resultará en un seno de salida de la misma frecuencia. Las únicas preguntas son cuál será su amplitud y fase.

Mira el gráfico de Bode. El gráfico superior te da la ganancia del sistema, y el segundo el desplazamiento de fase. Básicamente te está diciendo lo que necesitas saber en bandeja de plata. Con la amplitud, frecuencia y fase, deberías poder trazar la señal en el dominio del tiempo fácilmente.

Answer 2

En primer lugar, el diagrama de bode en el que estás interesado NO es el diagrama de bode de Y, sino de P. Probablemente hayas interpretado mal el objetivo del problema. Trázalo y agrega las imágenes resultantes a tu pregunta.

Luego, lo que quieres hacer es verificar la naturaleza de tu señal de entrada. En tu ejemplo, es un coseno puro con una frecuencia angular de 5 y amplitud unitaria. Al observar el diagrama de bode de P, verifica la amplitud (A) y fase (theta) en esa frecuencia. Tu respuesta Y será entonces A*cos(5t + theta). [sí, tan fácil como eso]

Dado que estás trabajando con un sistema lineal, este concepto se puede extender a otros tipos de señales de entrada a través de una adecuada descomposición de la entrada por series de Fourier. Por ejemplo, si U fuera una onda cuadrada, ¿tendría todos los armónicos impares conduciendo a infinito, verdad? ¡Con el diagrama de bode de P, puedo verificar la ganancia y el desplazamiento de fase para cada componente armónico de la onda resultante Y!

Hay muchas otras análisis que se pueden realizar a partir de la bode, como retrasos de grupo y estabilidad del sistema. Pero espero que esta respuesta te guíe por el camino correcto.