"Cada función puede ser representada como una serie de Fourier"

Question

Algunos, especialmente en ingeniería eléctrica y procesamiento de señales musicales, describen que cada señal puede ser representada como una serie de Fourier.

Así que esto me hizo pensar en la demostración matemática de tal argumento.

Pero incluso después de revisar algunos recursos sobre la serie de Fourier (en la que no tengo mucho conocimiento, pero entiendo el concepto), no puedo encontrar una demostración matemática de si cada función puede ser representada por una serie de Fourier. Hubo una sugerencia de que la función debía ser periódica.

¿Significa entonces que el "cada función puede ser representada como una serie de Fourier" es un mito y no se aplica a las señales, a menos que sean periódicas?

Pero luego también puedo encontrar referencias como estas: http://msp.ucsd.edu/techniques/v0.11/book-html/node171.html que dicen/implican que cada señal puede hacerse periódica? ¿Así que eso cambia la noción sobre si las series de Fourier pueden representar cada función, con la nueva condición de hacerla periódica, si es necesario?

Answer 1

Dado que estás mencionando señales aquí, parece apropiado considerar esta pregunta desde el punto de vista de un ingeniero eléctrico.

Si imponemos algunas restricciones sobre qué tipo de funciones se pueden considerar una "señal", entonces todas las señales periódicas tienen una serie de Fourier.

• La función debe ser continuada por partes.
• La función debe estar acotada.

Estas son restricciones físicas razonables que todas las señales reales deben cumplir. También son más que suficientes para que una función tenga una serie de Fourier.

Ahora, para una función que no es periódica, podemos encontrar una serie de Fourier para una parte de ella a través de un proceso llamado "ventaneo". Básicamente se aísla una parte de la señal en algún intervalo, y se finge que esa pieza es un período de una señal periódica. Los coeficientes de Fourier para cada "ventana" te dicen el espectro de potencia de la señal a medida que avanza el tiempo.

Answer 2

Me encontré con esta pregunta porque quería preguntar lo mismo. En la Lección 24 de Álgebra Lineal de Gilbert Strang, hacia el final: https://youtu.be/8MF3pz-oYHo?t=41m8s menciona que las partes de una serie de Fourier son como una base ortogonal, y que puedes proyectar una función sobre la serie de Fourier al igual que cualquier otra proyección sobre una base ortogonal.

Y la forma intuitiva de pensar en su restricción de ser periódica es porque las partes que componen la serie de Fourier son periódicas.

(¡Me encantaría ver algo más riguroso sin embargo!)

Answer 3

Una función integrable periódica acotada F ciertamente "tendrá" una serie de Fourier, pero la suma de la serie puede no ser igual a F en algunos puntos, incluso si F es continua.

Answer 4

Bueno, hay 3 condiciones para que exista una Serie de Fourier de una función: 1. Tiene que ser periódica. 2. Debe ser univaluada, continua. Puede tener un número finito de discontinuidades finitas. 3. Debe tener solo un número finito de máximos y mínimos dentro del periodo. 4. La integral sobre un periodo de |f(X)| debe converger. Cada una de ellas tiene pruebas analíticas pero vamos a discutirlas usando analogía. 1). Observa que la serie de Fourier se puede escribir como un exponente complejo y representan círculos (como este https://www.youtube.com/watch?v=55y13PF0uSg&feature=share ), ve como los círculos son curvas limitadas , los vectores conectados con ellos y el punto de salida deben volver por el mismo camino durante un tiempo más largo, por lo tanto deben ser periódicos (bueno para funciones no periódicas también funciona pero solo obtendrás el resultado para una región particular). 2). La parte continua es clara espero. Para la parte discontinua, debes recordar que nunca va hacia el infinito ya que si lo hace, en esa parte la curva se extiende hacia el infinito y como los movimientos circulares son periódicos, la expansión debe tener un límite finito (en una región) De manera similar podemos entender los otros 2 puntos.