¿Cómo determinar los límites de una serie acotada?

Question

Deje a>2 .

$\phi=a- \frac{1}{a- \frac{1}{a-\frac{1}{a-\frac{1}{....}}}}$

$\phi_0=a$ y $\phi_{n+1}=a-\frac{1}{\phi_n}$

Me gustaría determinar por recurrencia que $1 \leq \phi_n \leq a$

no hay límite para aplicar aquí. Todo lo que tengo es que: $a -\frac{1}{a} \neq 0$

¿Alguna pista por favor?

Answer 1

Observa la función $f(x)=a-\frac{1}{x}$, debido a que $\phi_{n+1}=f(\phi_{n})$. Observa que $f'(x)=\frac{1}{x^2}>0$ (es decir, creciente) y $\color{red}{\phi_{1}}=a-\frac{1}{a}\color{red}{<}a=\color{red}{\phi_{o}}$, por lo tanto $$\color{red}{\phi_{2}}=f(\phi_{1})\color{red}{\leq} f(\phi_{0})=\color{red}{\phi_{1}}$$ y por inducción $$\phi_{n+1}\leq \phi_{n} \Rightarrow \color{red}{\phi_{n+2}}=f(\phi_{n+1})\color{red}{\leq} f(\phi_{n})=\color{red}{\phi_{n+1}} \tag{1}$$ la secuencia es decreciente. Además $$1\leq x\leq a \Rightarrow 1\geq\frac{1}{x}\geq\frac{1}{a}\geq0 \Rightarrow \\ -1\leq-\frac{1}{x}\leq-\frac{1}{a}\leq0 \Rightarrow\\ 1\leq a-1\leq a-\frac{1}{x}\leq a-\frac{1}{a} o $$x\in [1,a] \Rightarrow f(x)\in[1,a] \tag{2}$$ Porque $\phi_0\in[1,a]$ entonces por inducción $$\phi_n\in[1,a] \Rightarrow \phi_{n+1}=f(\phi_n)\in[1,a]$$ La secuencia es monótona y acotada, por lo tanto el límite existe. Ahora, puedes encontrar su valor $L=\lim\limits_{n\to\infty}\phi_n$ a partir de $$L=a-\frac{1}{L} \iff L^2-aL+1=0$$