Las transformaciones del mazo de la cubierta universal son isomorfas al grupo fundamental - explícitamente

Question

He leído en varios lugares que dada un espacio topológico (digamos conexo por caminos) $X$ y su cubierta universal $\tilde{X}\stackrel{p}\rightarrow X$, hay un isomorfismo

$$\mathrm{Deck}(\tilde{X}/X) \simeq \pi_1(X, x_0).$$

Aquí $\mathrm{Deck}(\tilde{X}/X)$ denota el grupo de transformaciones deck de la cubierta universal y $x_0$ es algún punto base. (Quizás estoy omitiendo algunas suposiciones, pero estoy interesado principalmente en esto para variedades suaves conexas por caminos, que deberían ser espacios topológicos "lo suficientemente buenos".)

Sin embargo, no pude encontrar ninguna descripción explícita del isomorfismo. Lo que tengo en mente es lo siguiente:

Dada una curva $\gamma$ en $X$, ¿cuál es la transformación deck correspondiente? En otras palabras, ¿cómo actúa el grupo fundamental $\pi_1(X, x_0)$ en el espacio de cubierta $\tilde{X}$?

Es decir, estoy interesado en la "imagen geométrica" detrás del isomorfismo. Entiendo que hay alguna elección involucrada, algo así como fijar alguna preimagen $\tilde{x}_0 \in p^{-1}(x_0)$, puedo imaginar que levantar la curva de manera única en módulo de esta elección, sin embargo no puedo ver cómo obtener un homeomorfismo de $\tilde{X}$ utilizando este camino levantado (¿es algún uso de la propiedad universal de $\tilde{X}\rightarrow X$, tal vez?).

Gracias de antemano por cualquier ayuda.

Answer 1

Aquí es cómo va.

Deje que $B$ sea un espacio lo suficientemente agradable como para tener una cubierta universal (simplemente conexa), diga que $B$ es conexo, localmente conexo y semi-localmente simplemente conexo. Deje que $(X,x_0)\to (B,b_0)$ sea su cubierta universal.

Tome un lazo $\gamma: (S^1,1)\to (B,b_0)$ entonces puede levantar $\gamma$ a un camino $\overline{\gamma}: I\to X$ que se proyecta a $\gamma$. Ahora $\overline{\gamma}(1)$ es un elemento de $X_{b_0}$. Puede usar entonces el siguiente teorema.

Deje que $(Y,y_0)\to (B,b_0)$ sea un espacio (de camino) conexo y localmente conexo sobre $B$ y $(X,x_0)\to (B,b_0)$ sea una cubierta de $B$, entonces existe un levantamiento de $(Y,y_0)\to (B,b_0)$ a $(Y,y_0)\to (X,x_0)$ si la imagen de $\pi_1(Y,y_0)$ dentro de $\pi_1(B,b_0)$ está contenida en la imagen de $\pi_1(X,x_0)$ dentro de $\pi_1(B,b_0)$

Use el teorema anterior con $(Y,y_0)=(X,\overline{\gamma}(1) ). Esto le dice que existe un mapa de cobertura $X\to X$ que envía $x_0$ a $\gamma(1)$.

Es fácil ver que este mapa depende solo de la clase homotópica de $\gamma$ usando el siguiente resultado

Deje que $(X,x_0)$ sea una cubierta de $(B,b_0)$ y $Y$ sea un espacio conectado sobre $B$. Si dos levantamientos de $Y\to B$ a $Y\to X$ coinciden en algún $y_0$ en $Y$, entonces son iguales.

Esto le dice que si $\overline{\gamma}(1)=\overline{\tau}(1)$ entonces los dos morfismos $X\to X$ que obtiene, coinciden. Además, usando el inverso de $\gamma$, se ve que los morfismos $X\to X$ que obtiene son automorfismos.

Esto le da un mapa bien definido $\pi_1(B,b_0)\to \text{Aut}_B(X)$. Usando lo que dije antes, es fácil ver que es un isomorfismo.

Answer 2

Sentí que aún había un poco más que decir sobre una "imagen geométrica" detrás de esta acción, así que aquí va.

Bien, entonces tomemos $X$ como un espacio adecuadamente agradable con recubrimiento simplemente conexo $p:\tilde{X}\rightarrow X$. Tomemos $\gamma$ como un lazo en $X$ con base en algún punto $x_0\in X$, representando un elemento de $\pi_1(X,x_0)$. Ahora, elijamos un $\tilde{x}\in\tilde{X}$; nos gustaría describir $\gamma\cdot\tilde{x}$, la imagen de $\tilde{x}$ bajo la transformación del mazo determinada por $\gamma$.

Sea $\tilde{x_0}$ algún levantamiento de $x_0$ a $X$ y elijamos un camino $\tilde{\alpha}$ en $\tilde{X}$ que comience en $\tilde{x_0}$ y termine en $\tilde{x}$. Definamos $\alpha=p\circ\tilde{\alpha}$. Sea $\gamma\bullet\alpha$ la concatenación del camino de $\gamma$ seguido por $\alpha$ y sea $\widetilde{\gamma\bullet\alpha}$ el levantamiento de $\gamma\bullet\alpha$ a $\tilde{X}$ que comienza en $\tilde{x_0}$. Entonces, definimos $\gamma\cdot\tilde{x}=\widetilde{\gamma\bullet\alpha}(1)$. Los hechos mencionados en otra respuesta anterior nos dicen que esto está bien definido.

Esta forma de definir la acción produce una bonita imagen, creo. La idea es que si $\tilde{\gamma}$ es el levantamiento de $\gamma$ que comienza en $\tilde{x_0}$, entonces $\tilde{\gamma}(1)$ es otro elemento de $p^{-1}(x_0)$. Luego, podemos "hacer $\tilde{\alpha}$" comenzando en $\tilde{\gamma}(1)$ en lugar de $\tilde{x_0}$, y $\gamma\cdot\tilde{x}$ es el punto final de este nuevo camino. Ver la imagen debajo.