La computación en la forma cerrada $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\operatorname{Ci}\left(\frac{3}{4}\zeta(2) \space n\right)}{n^2}$

Question

¿Qué herramientas me puede recomendar para el cómputo de la serie de abajo?

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\operatorname{\displaystyle Ci\left(\frac{3}{4}\zeta(2) \space n\right)}}{n^2}$$

Me falta la partida de ideas, la necesito. Gracias.

Answer 1

$\def\cosi{{\rm Ci}}$ Es bien conocido, (ver por ejemplo[ 1,$\S 5.2$]), que para los números reales positivos $x$ hemos $$\cosi(x)=\gamma+\ln x -\int_0^x\frac{1-\cos t}{t}\, d t.$$ De ello se desprende que, para $0<a\leq 2\pi$ $n\geq 1$ hemos $$\cosi(a n)=\gamma+\ln a +\ln n -\int_0^a\frac{1-\cos(n t)}{t}\, d t.$$ y, en consecuencia, $$\sum_{n=1}^\infty\frac{\cosi(n)}{n^2}=(\gamma +\ln a)\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}+ \sum_{n=1}^\infty\frac{\ln n}{n^2}-\int_0^\frac{1}{t}\left(\sum_{n=1}^\infty\frac{1-\cos nt}{n^2}\right) d t,$$ donde, en el último término se utilizó la positividad de el integrando para justificar el intercambio de suma y de la integración. Llegamos a la conclusión de que $$\sum_{n=1}^\infty\frac{\cosi(n)}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}(\gamma +\ln a)- \zeta^\prime(2)-\int_0^\frac{1}{t}\left(\sum_{n=1}^\infty\frac{1-\cos nt}{n^2}\right) d t.\la etiqueta{1}$$ Por otro lado, es bien sabido, que para $0\leq t\leq 2\pi$ que $$\sum_{n=1}^\infty\frac{\cos nt}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}-\frac{\pi t}{2}+\frac{t^2}{4},$$ y, en consecuencia, $$\sum_{n=1}^\infty\frac{1-\cos nt}{n^2}=\frac{\pi t}{2}-\frac{t^2}{4}.$$ Por lo tanto, para $0\leq a\leq 2\pi$, obtenemos $$\int_0^\frac{1}{t}\left(\sum_{n=1}^\infty\frac{1-\cos nt}{n^2}\right)\, d t =\int_0^a\left(\frac{\pi }{2}-\frac{t}{4}\right)\, d t=\frac{\pi }{2}-\frac{a^2}{8}.$$ Sustituyendo esto en $(1)$ se obtiene la deseada fórmula : $$\sum_{n=1}^\infty\frac{\cosi(n)}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}(\gamma +\ln a)- \zeta^\prime(2)-\frac{\pi }{2}+\frac{a^2}{8}, \quad\hbox{para $0<a\leq 2\pi$}$$

Observación. Este problema se alistó como problema abierto aquí.

Observación. Por supuesto, se me olvidaba decir que el caso que estamos considerando corresponde a $a=\dfrac{3}{4}\zeta(2)=\dfrac{\pi^2}{8}$.

Answer 2

El uso de Maple yo soy la obtención de $0.4848560378$ . ¿Estás de acuerdo?