¿Cómo puedo encontrar las soluciones básicas de una EDO lineal homogénea?

Question

La ecuación diferencial lineal de segundo orden se muestra a continuación.

$y''+\frac{2}{x}y'+k^2y=0,$

donde $k$ es una constante y $x\neq 0$

Ya sé que las soluciones fundamentales son $y_1=\frac{e^{-ikx}}{x}$ y $y_2=\frac{e^{ikx}}{x}$. (del libro)

Pero no sé cómo encontrar las soluciones fundamentales de esa EDO...

Answer 1

Puedes reducir la DE dada en otra con la primera derivada eliminada de la siguiente manera:

$1$. Coloca $y=u(x)v(x)$ en la DE dada

$2$. Iguala el coeficiente de $v'(x)$ a cero para obtener $u(x)$.

$3$. Ahora resuelve la DE reducida para $v(x)$ con su término de primera derivada ausente por los métodos habituales de CF y PI.

$4$. La solución es $y(x)=u(x)v(x)$.

Answer 2

$$xy''+2y'=-k^2xy$$ $(xy)'=xy'+y$

$(xy)''=(xy''+y')+y'=xy''+2y'$

$$(xy)''=-k^2(xy)$$ Esta es la conocida EDO $\quad Y''=-k^2Y \quad\to\quad Y=c_1\cos(kx)+c_2\sin(kx)$$ $$xy=c_1\cos(kx)+c_2\sin(kx)$$ $$y=c_1\frac{\cos(kx)}{x}+c_2\frac{\sin(kx)}{x}$$