Sumas de Matsubara y Polos Múltiples

Question

En el libro de Mahan, en la ecuación (4.127), afirma que \begin{align} &\frac{1}{\beta}\sum_{ik_n} \frac{1}{ik_n-\xi_1}\frac{1}{ik_n-\xi_2}\frac{1}{ik_n-\xi_3} \\ =& \frac{n_F(\xi_1)}{(\xi_1-\xi_2)(\xi_1-\xi_3)} + \frac{n_F(\xi_2)}{(\xi_2-\xi_1)(\xi_2-\xi_3)} + \frac{n_F(\xi_3)}{(\xi_3-\xi_1)(\xi_3-\xi_2)} - \pi^2 n_F(\xi_1)\delta(\xi_1-\xi_2)\delta(\xi_1-\xi_3) \end{align} donde $ik_n$ son frecuencias fermiónicas (semienteras) y $n_F$ es la función de distribución de Fermi. Dado que eventualmente se integra sobre $\xi_1, \xi_2, \xi_3$, es necesario tener cuidado con la elección del contorno al calcular la suma a través de residuos; es decir, se debe evitar cruzar el eje real.

El contorno que se debe tomar consiste en dos semicírculos de radio infinito, uno $i\epsilon$ arriba y otro $i\epsilon$ abajo del eje real, ambos con orientación en sentido contrario a las agujas del reloj. Por lo tanto, la suma de Matsubara se evalúa como la diferencia entre las integrales $\int_{-\infty+i\epsilon}^{\infty+i\epsilon} - \int_{-\infty-i\epsilon}^{\infty-i\epsilon}$.

Los primeros tres términos de (4.127) son fáciles de obtener, y de hecho lo que uno esperaría si fija $\xi_1, \xi_2$ y $\xi_3$ en algún valor constante. Sin embargo, tengo dificultades para demostrar que el último término es realmente correcto.

De manera ingenua, uno querría usar el teorema de Sokhotski–Plemelj $$\frac{1}{x+i\epsilon} = P\frac{1}{x} - i\pi\delta(x)$$ término por término, pero tal relación solo se cumple cuando la función contra la cual estás integrando es analítica. Las delta-funciones en el 4º término de (4.127) claramente colocan todos los polos en el mismo lugar, prohibiendo esta sustitución ingenua término por término.

¿Cómo se debería proceder para demostrar que este 4º término es realmente el límite correcto de $\epsilon\rightarrow 0$? ¿O acaso Mahan está equivocado?

Editar: Además, esta fórmula implica que intercambiar la suma de Matsubara y las integrales de momento cambia la respuesta; pero hubiera esperado que esto no fuera el caso. Me resulta curioso que puedas intercambiar con dos factores, pero no con tres o más. ¿Por qué es esto así, y cuál debería considerarse el orden "correcto" de operaciones y por qué?

Answer 1

El resultado final parece una forma del teorema de Poincare-Bertrand. Este es un resultado mucho más profundo que el teorema Sokhotski-Plemelj habitual. Hay una discusión en mis apuntes de clase: https://courses.physics.illinois.edu/phys509/sp2019/bmaster.pdf en la página 381. Cuando escribí estos apuntes, sabía que el teorema de Hardy ahora se conoce con el nombre de Poincare-Bertrand a pesar de que G.H. Hardy lo descubrió primero. Es un principio general que un teorema rara vez es conocido por el nombre de la primera persona que lo descubrió, sino por el nombre de la última persona que lo descubrió.

Aún no he entendido cómo funcionan las sumas de Matsubara aquí, pero puedo explicar algo de las matemáticas extrañas de Poincare-Bertrand.

Una forma de entender P-B es a través de la transformada de Hilbert y el teorema de convolución. La transformada de Hilbert de una función de prueba $f(x)$ es $$ {\mathcal H}f(x) = \frac{P}{\pi } \int_{-\infty}^\infty \frac{f(y)}{x-y} dy, $$ (donde $P$ denota una integral de parte principal) y su transformada de Fourier es $$ \widetilde{{\mathcal H}f}(\omega) = i {\rm sgn}(\omega)\tilde f, $$ donde $\tilde f$ es la transformada de Fourier de $f$. Ahora si $\omega_1+\omega_2+\omega_3=0$, tenemos $$ {\rm sgn}(\omega_1){\rm sgn}(\omega_2)+ {\rm sgn}(\omega_2){\rm sgn}(\omega_3)+{\rm sgn}(\omega_3){\rm sgn}(\omega_1)=-1, $$ (Dos de las frecuencias deben tener un signo y la restante el otro signo, por lo que dos de los términos son negativos y uno positivo). Ahora se puede usar esta expresión en el teorema de convolución para obtener el resultado $$ \int \frac{u_2(z)}{x-z} \left(\int \frac{u_1(y)}{z-y}\,dy\right) dz +\int \frac{u_1(y)}{x-y} \left(\int \frac{u_2(z)}{y-z}\,dz\right) dy + \int \frac{u_1(y)}{y-x}\,dy \int \frac{u_2(z)}{x-z}\, dz = -\pi^2 u_1(x)u_2(x). $$ Las integrales de la parte principal están implícitas en todos estos términos. Podemos reescribir esto (sin hacer nada más peligroso que sacar constantes bajo los signos de integración) como $$ \int\left(\int\frac{u_1(y)u_2(z)}{(x-z)(z-y)}\, dy\right) dz+ \int\left(\int \frac{u_1(y)u_2(z)}{(x-y)(y-z)}dz\right)dy + \int \left(\int\frac{u_1(y)u_2(z)}{(y-x)(x-z)} dy\right)dz = -\pi^2 u_1(x)u_2(x).$$ Las integrales principales siguen implícitas cuando intentamos dividir por cero. Ahora podemos (de nuevo inocentemente) combinar los integrandos de los primer y tercer términos usando $$ \frac{1}{(y-z)(z-x)} +\frac{1}{(z-x)(x-y)}= - \frac1{(x-y)(y-z)} $$ para obtener $$ -\int_{-\infty}^\infty \left(\int_{-\infty}^\infty\frac{u_1(y)u_2(z)}{(x-y)(y-z))}\, dy\right) dz+ \int_{-\infty}^\infty \left(\int_{-\infty}^{\infty} \frac{u_1(y)u_2(z)}{(x-y)(y-z)}dz\right)dy = -\pi^2 u_1(x)u_2(x), $$ lo que muestra que no se permite intercambiar el orden de las integraciones.

Voy a pensar en las sumas de Matsubara.