Básicamente tenemos un número $10101...10101$ que contiene $2016$ ceros y puede escribirse como $ \sum _{ k=0 }^{ 2016 }{ 100^{ k } }$ . Quiero demostrar que este número no es primo sin usar nada más que un trozo de papel y un bolígrafo. Llevo atascado en esto varios días.
Respuestas
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Jonas H.
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Brian
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Y como has hecho esta pregunta, aquí hay una pieza interesante de información, que en la secuencia $101,10101,1010101,....$ ninguno de los números es primo EXCEPTO el primero. Esto se puede probar bastante fácilmente y en tu caso el número es $${{(10^{4034}-1)}/99}$$, y el numerador se puede escribir como $${{(10^{2017}}-1)} \times {{(10^{2017}}+1)}$$ y el primer multiplicando tiene un factor 10-1=9 y el segundo multiplicando tiene un factor 10+1=11 por lo que su producto es divisible por 9 y 11, que son coprimos, por lo tanto divisible por 99, así que el número no es primo, porque tiene 2 factores ahora ambos mayores que 1. Así que es un primo que de todas formas es apoyado por el resultado anterior.
Laszlo
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user236182
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De hecho, puedes generalizar esto a cualquier base \(a\in\mathbb Z_{\ge 2}\).
Si \(a,k\in\mathbb Z_{\ge 2}\), entonces ($_a$ denota 'base \(a\)'):
$$\underbrace{10101\cdots 101_a}_{k\text{ ceros}}=\sum_{i=0}^k a^{2i}=\frac{a^{2(k+1)}-1}{a^2-1}=\frac{\left(a^{k+1}+1\right)\left(a^{k+1}-1\right)}{a^2-1},$$
\(a^{k+1}+1>a^{k+1}-1>a^2-1\), por lo tanto \(\underbrace{10101\cdots 101_a}_{k\text{ ceros}}\) es compuesto.
Por lo tanto, \(10101_a, 1010101_a,\ldots\) son todos compuestos (para cualquier base \(a\in\mathbb Z_{\ge 2}\)).
