¿Alguien puede ayudarme a entender este ejemplo de un diagrama de espacio de fases de un oscilador armónico simple inverso?

Question

No puedo entender completamente este gráfico de fase en particular. Estoy acostumbrado al gráfico de momento vs desplazamiento que suele resultar en una elipse, pero creo que este es un gráfico de trayectoria vs desplazamiento que realmente no entiendo. Tengo problemas para leer la letra pequeña de este libro de texto, así que si alguien pudiera iluminarme, estaría muy agradecido.

Answer 1

Has mencionado una familiaridad con el caso donde un gráfico de $y=\dot{x}$ contra $x$ obtiene una elipse, es decir, constante $y^2+\omega^2x^2$ para el SHO normal $\ddot{x}=-\omega^2x$. Todo este ejercicio hace por el SHO inverso, donde el coeficiente de $x$ en la EDO ha perdido su signo $-$, es actualizar la cantidad que se mantiene constante durante la evolución temporal del sistema. Podemos combinar ambos ejercicios, es decir, $$\color{limegreen}{\ddot{x}}=\mp\omega^2\color{red}{x}\implies\frac{d}{dt}(\color{blue}{y}^2\pm\omega^2\color{red}{x}^2)=2(\color{blue}{y}\color{limegreen}{\dot{y}}\pm\omega^2\color{red}{x}\color{blue}{\dot{x}})=2\color{blue}{y}(\color{limegreen}{\ddot{x}}\pm\omega^2\color{red}{x})=0.$$(He denotado $x$ y sus dos primeras derivadas en rojo, azul y verde). Así que para el SHO inverso, en lugar de la trayectoria ser una elipse $y^2+\omega^2x^2=C$, es una hipérbola $y^2-\omega^2x^2=C$.