¿Cómo realizar una simetría axial con respecto a cualquier línea en el plano cartesiano?

Question

Si tenemos un punto $P (x, y)$. Sé que una simetría axial respecto al eje de las ordenadas dará como resultado el punto homólogo $(-x, y)$. Además, una simetría axial respecto al eje de las abscisas dará como resultado un punto homólogo $(x, -y)$

El problema es que no sé cómo hacerlo cuando se trata de una recta, sin tener que dibujar.

En concreto, tengo un ejercicio en el que debo hacer una simetría axial en un punto $K$ de coordenadas $(3, -1)$ con respecto a una recta $L$ que biseca los $1er$ y $3er$ cuadrantes.

Al ser bisectada, significa que esta recta tiene un ángulo de $45 °$ respecto a la horizontal.

A partir de aquí, no sé cómo continuar, agradecería una ayuda general para este tipo de ejercicios, gracias de antemano.

Answer 1

PISTA

Consideremos la transformación para $(1,0)$ y $(0,1)$ y luego observemos que

$$(3,-1)=3\cdot (1,0)-1\cdot (0,1)$$

y usemos la linealidad, es decir

$$T(a\vec v+b\vec w)=aT(\vec v)+bT(\vec w)$$

Answer 2

Solución general:

Sea $l: y=ax+b$ una línea arbitraria en el plano cartesiano, y asumamos que existe un punto $P(x,y)$. Queremos encontrar un punto $Q(u,v)$ que sea simétrico axial con respecto a $l$.

(En una situación específica, conocemos el valor exacto de $x,y,a,b$, y queremos saber $u,v$.)

$PQ$ es perpendicular a $l$. Por lo tanto,

$$ \frac{y-v}{x-u} \times a = -1.$$

Así, $v$ puede expresarse en función de $u$.

Un punto $R(0,b)$ está en la línea $l$. Y sabemos que $PR = QR$. Por lo tanto,

$$ x^2 + (y-b)^2 = u^2 + (v-b)^2.$$

De esta ecuación, podemos encontrar el valor exacto de $v$ y $u$.

Hecho.

Answer 3

Sea K' la proyección ortogonal del punto K en la línea L, y K" el simétrico de K con respecto a la misma línea L (también conocido como punto de reflexión).

Primer paso: K' es el punto de intersección de la línea L y una línea perpendicular a L que pasa por K.

Segundo paso: Dado que K' es el punto medio del segmento KK", $(x_{K"},y_{K"})= 2(x_{K'},y_{K'})-(x_{K},y_{K})$