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¿Cuándo está cerrada la imagen de un mapa propio?

Un mapa se llama adecuado si la preimagen de un conjunto compacto vuelve a ser compacto.

En las Formas Diferenciales en Topología Algebraica de Bott y Tu, comentan que la imagen de un mapa adecuado f:RnRm es cerrada, añadiendo el comentario "(¿por qué?)".

Puedo pensar en una prueba simple en este caso para f continua:

Si la imagen no es cerrada, hay un punto p que no pertenece a ella y una secuencia pnf(Rn) con pnp. Dado que f es adecuado, f1(¯Bδ(p)) es compacto para cualquier δ. Sea xn cualquier punto en f1(pn) y sin pérdida de generalidad xnf1(¯Bδ(p)). Dado que en Rn compacto y secuencialmente compacto son equivalentes, existe una subsucesión convergente xnk de xn. Por la continuidad de f: f(xnk)f(x) para algún x. Pero f(xnk)=pnkp que no se supone que esté en la imagen y esto lleva a una contradicción.

Mi problema es que esta prueba es demasiado específica para Rn y utiliza argumentos de análisis básico en lugar de topología general.

Entonces la pregunta es para qué espacios se cumple que la imagen de un mapa adecuado es cerrada, cómo funciona la prueba, y ¿es necesario suponer la continuidad?

51voto

Craig Lillie Puntos 1

En primer lugar, la definición de un mapa adecuado asume continuidad por convención (no he encontrado textos que digan lo contrario)

En segundo lugar, aquí hay un resultado más general -

Lema : Sea f:XY un mapa adecuado entre espacios topológicos X y Y y sea Y localmente compacto y Hausdorff. Entonces f es un mapa cerrado.

Prueba : Sea C un subconjunto cerrado de X. Necesitamos mostrar que f(C) es cerrado en Y, o equivalentemente que Yf(C) es abierto.

Sea yYf(C). Entonces y tiene un vecindario abierto V con cierre compacto. Entonces f1(ˉV) es compacto.

Sea E=Cf1(ˉV). Entonces claramente E es compacto y por lo tanto también lo es f(E). Dado que Y es Hausdorff, f(E) es cerrado.

Sea U=Vf(E). Entonces U es un vecindario abierto de y y está disjunto de f(C).

Por lo tanto, Yf(C) es abierto.

Espero que esto ayude.


EDICIÓN: Para aclarar la declaración U es disjunto de f(C) -

Supongamos zUf(C). Entonces existe un cC tal que z=f(c). Esto significa que cf1(U)f1(V)f1(ˉV). Así que cCf1(ˉV)=E. Por lo tanto, z=f(c)f(E) lo cual es una contradicción ya que zU.


Edición adicional de @Hans: U es disjunto de f(C) es esencialmente y se ve más claro en la siguiente ecuación f(Af1(B))=f(A)B para una función arbitraria f y conjuntos A y B. Mostraremos que ya que la otra dirección es trivial. Supongamos zf(A)B. aAz=f(a). zBaf1(B).

17voto

Stefan Hamcke Puntos 16889

Uno puede generalizar aún más el resultado en la respuesta de R_D:

Un mapa adecuado f:XY a un espacio de Hausdorff compactamente generado es un mapa cerrado (Un espacio Y se llama compactamente generado si cualquier subconjunto A de Y es cerrado cuando AK es cerrado en K para cada compacto KY).
Prueba: Sea CX cerrado, y sea K un subespacio compacto de Y. Entonces f1(K) es compacto, y así es f1(K)C=:B. Luego f(B)=Kf(C) es compacto, y como Y es Hausdorff, f(B) es cerrado. Como Y es compactamente generado, f(C) es cerrado en Y.

Un espacio localmente compacto Y es compactamente generado: Si AY interseca a cada conjunto compacto en un conjunto cerrado, y si yA, entonces A interseca la vecindad compacta K de y en un conjunto cerrado C. Ahora KC es una vecindad de y disjunta de A, por lo tanto A es cerrado.


Necesitamos la siguiente proposición para la prueba anterior. f(Af1(B))=f(A)B para cualquier función f y conjuntos A y B. Mostraremos ya que la otra dirección es trivial. Supongamos zf(A)B. aAz=f(a). zBaf1(B).

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