¿Cuál es la relación entre Pi y Phi utilizando la Gran Pirámide de Giza?

Question

En una documentación sobre la Gran Pirámide de Giza, escuché las siguientes tres tesis sobre sus medidas y los números $\pi$ y $\phi$ (la proporción áurea).

Medición

La Gran Pirámide de Giza originalmente tenía las siguientes medidas:

$$s = 230.33\textrm{m}$$

$$h_p = 146.59\textrm{m}$$

$$\alpha = 51°50'$$

Tesis 1:

Si divides el perímetro de la pirámide $4s$ por la altura $h_p$, obtendrás $2\pi$ (error < 0.01%)

$$\frac{4s}{h_p} = 2\pi$$

Tesis 2:

Si divides la superficie de la base $s^2$ por la del resto de la superficie lateral $4A_m$, obtendrás el mayor de la proporción áurea (0.618..., error < 0.01%):

$$\frac{s^2}{4A_m} = maj. a = \phi-1$$

Tesis 3:

El coseno del ángulo de la Gran Pirámide $\alpha$ resultará también en el mayor de la proporción áurea (error desconocido):

$$cos(\alpha) = maj. a = \phi-1$$

Combinando tesis 1 y tesis 2, obtengo la siguiente fórmula:

$$\phi = f(\pi) = 1 + \pi \frac{\sqrt{16+\pi^2}}{16+\pi^2}$$

La parte muy interesante es que $s$, $A_m$ y $h_p$ han sido cancelados, por lo que esta fórmula es válida para todas las pirámides cuadradas con $2\frac{s}{h_p} = \pi$.

• Pregunta: ¿Cómo puedo probar o refutar esta fórmula? Usando mi calculadora, parece que ambos términos no son iguales, pero podría ser simplemente un error de redondeo de la calculadora.

• Si es cierto, ¿hay alguna manera de expresar $\pi = f(\phi)$ usando esta fórmula?

• Pregunta adicional sobre tesis 3: ¿Es posible que $\alpha = arccos(\phi-1) = arccos(\frac{\sqrt{5}-1}{2})$ pueda expresarse como una fórmula no trigonométrica o como un número no trascendental?

Answer 1

$\phi$ es algebraico mientras que $\pi$ es trascendental, por lo que una ecuación como $$ \phi = 1 + \pi \dfrac{\sqrt{16 + \pi^2}}{16 + \pi^2}$$ no puede ser correcta. De hecho, tu calculadora debería mostrarte que ni siquiera está cerca.

$\arccos(\phi - 1)$ es un número trascendental según el teorema de Lindemann que dice que $e^x$ es trascendental siempre que $x$ sea distinto de cero y algebraico.

EDITAR: $\arccos(\phi - 1)$ tampoco es un múltiplo racional de $\pi$. Si $t = \arccos(\phi - 1)$, tenemos $w = \exp(it)$ satisfaciendo $w + 1/w = 2 z$, y luego $p(w) = w^4 + 2 w^3 - 2 w^2 + 2 w + 1 = 0$. Este polinomio es irreducible en los racionales. Ahora, si $t$ fuera un múltiplo racional de $\pi$, $w$ sería una raíz de la unidad, por lo que $p(w)$ tendría que ser un polinomio ciclotómico, lo cual no es.

Tampoco es un múltiplo algebraico de $\pi$, según el teorema de Gelfond-Schneider.

Answer 2

No necesitas confiar en los intelectuales sobre el verdadero valor de $\pi$. Puedes calcularlo fácilmente tú mismo, de la misma manera que lo hizo Arquímedes hace unos 2000 años.

Dibuja un círculo, y luego dibuja un polígono regular inscrito en su interior y circunscrito alrededor de él. (El más simple para comenzar es un hexágono, ya que es suficiente medir el radio y marcarlo en una circunferencia seis veces con un par de compases. También puedes comenzar con un cuadrado). Luego calcula sus perímetros. (Es bastante fácil, un poco de trigonometría sería suficiente). Esto aún no te dará el valor de $\pi$, pero te dará una estimación aproximada de los límites en los que tiene que encajar $\pi. Eso se debe a que la circunferencia del círculo es definitivamente más pequeña que el perímetro del polígono circunscrito, pero mayor que el perímetro del inscrito. Al duplicar el número de lados de ambos polígonos, estrechas el límite en el que $\pi$ tiene que encajar, dándote una mejor y mejor precisión de tu estimación. Puedes duplicar el número de lados tantas veces como desees, asegurando más y más decimales de $\pi$. Así que todavía no sabes el valor final de $\pi (y nunca lo sabrás), pero al menos puedes decir qué números no son $\pi con certeza.

Cuando aplicas esta técnica al valor calculado a partir de la infame fórmula que implica $\Phi$, la proporción áurea (en realidad, un inverso de su raíz cuadrada, multiplicado por cuatro), obtendrás $3.144605511...$, y puedes demostrar fácilmente que este valor está muy lejos del rango permitido. En otras palabras, no encaja entre el polígono inscrito y circunscrito, por lo que no puede ser igual a la circunferencia del círculo ni mucho menos.