$f_{n}(x) = \frac{1}{n}$ si $x = n$ y $f_{n}(x) = 0$ si $x\neq n$. ¿Es $\sum f_{n}(x)$ uniformemente convergente?

Question

Para cada $n \in \mathbb{N}$ y $x \in \mathbb{R}$ define $$f_{n}(x) = \frac{1}{n}\;\mathrm{si}\;x=n\quad\mathrm{y}\quad f_{n}(x) = 0\;\mathrm{si}\;x\neq n.$$ ¿La serie $\sum f_{n}(x)$ es uniformemente convergente en $\mathbb{R}$?

Para cada $x \in \mathbb{R}$, $f_{n}(x) = \frac{1}{x}$ o $f_{n}(x) = 0$ para todo $n \in \mathbb{N}$. Por lo tanto, la serie converge (puntualmente). Ahora, sobre la convergencia uniforme, estoy confundido. No veo el criterio a aplicar en esta serie. Agradezco cualquier pista.

Answer 1

Por definición de convergencia uniforme, necesitas: $$\forall \epsilon >0\exists N\in\mathbb{N}\space t.q. \space \forall n>N.\forall x\in \mathbb{R} : |f_n(x)-f(x)|<\epsilon $$

Es decir, $N$ es uniforme, dependiendo solo de $\epsilon$ y no de $x.

También puedes usar el criterio de Cauchy para la convergencia uniforme:

$$\forall \epsilon >0\exists N\in\mathbb{N}\space t.q. \space \forall n,m>N.\forall x\in \mathbb{R} : |f_n(x)-f_m(x)|<\epsilon $$

Nota que ambos criterios son equivalentes a probar: $\sup_{x\in \mathbb{R}}|f_n(x)-f(x)|\to0.$

Una forma de refutar la convergencia uniforme es encontrar una serie de puntos $x_n\to \omega\in\mathbb{R}\cup\{+\infty,-\infty\} $ tal que $|f_n(x_n)-f(x_n)|\to a\neq0$

Las reglas similares se aplican cuando se trata de series, esta vez debes mirar $S_n=\sum_{k=1}^nf_k(x)$

Answer 2

Para $x \in \mathbb R$ y $n \in \mathbb N$ tienes

$$\left\vert \sum\limits_{k=n+1}^\infty f_k(x)\right\vert \le \dfrac{1}{n+1}$$

Por lo tanto, $\sum f_n$ converge uniformemente en $\mathbb R$: el supremo del resto $R_n(x)$ está uniformemente acotado por una cantidad que tiende a cero a medida que $n \to \infty$.

Answer 3

Reclamo: $|\sum_{k=j}^{m} f_n (x)|\leq \frac 1 j$ para todo $x \in \mathbb R$ siempre que $1\leq j \leq m$. Una vez que mostramos esto, la convergencia uniforme sigue. Fija $x$. Si $x$ no está en $\{j,j+1,...,m\}$ entonces $\sum_{k=j}^{m} f_n (x)=0$. Si $x=k$ para algún $k$ en este rango entonces la suma es exactamente $\frac 1 k$ lo cual no excede $\frac 1 j$. Esto demuestra el reclamo.

Answer 4

Sí, converge uniformemente a la función $$\begin{array}{rccc}f\colon&\mathbb R&\longrightarrow&\mathbb R\\&x&\mapsto&\begin{cases}\frac1n&\text{ si }x=n\text{ para algún }n\in\mathbb N\\0&\text{ en otro caso.}\end{cases}\end{array}$$ Simplemente utiliza la definición de convergencia uniforme y el hecho de que, para cada $\varepsilon>0$, $\frac1n<\varepsilon$ si $n\gg1$.

Answer 5

$f_{n} (x) \rightarrow f(x)=0$ $\space$ a medida que$\space n \rightarrow \space \infty$ $Ahora\space M_{n} =Sup|f_{n}| \space \forall x\in R $. Entonces $M_{n} =0 \space \forall n\in N$