Curva no singular $C$ de grado 4, existe una función racional $f: C \to \mathbb{CP}^1$ de grado 2?

Question

Supongamos que $C \subset \mathbb{CP}^2$ es una curva no singular de grado $4$ . ¿Existe una función racional $f: C \to \mathbb{CP}^1$ de grado $2$ ?

Answer 1

Demostramos que no existe tal función racional.

Por Riemann-Roch, tenemos que $$\ell(K - p) = 1 + \ell(p)$$ y $$\ell(K - p - q) = \ell(p + q).$$ Sabemos que $$\ell(p) = 1,$$ desde $p$ es un divisor efectivo, y ninguna función meromorfa sobre una superficie compacta de Riemann puede tener sólo $1$ polo simple, por lo que tenemos que $$\ell(K - p) = 2.$$ Por lo tanto, $\ell(K - p - q)$ es $1$ o $2$ .

Si $$\ell(K - p - q) = 2,$$ elegir una función racional de la misma, $f$ que no es constante. Esto induce un grado $2$ mapa en $\mathbb{CP}^1$ , lo que equivale a decir que $C$ es hiperelíptica. Pero el divisor canónico de una curva hiperelíptica no es muy amplio, mientras que $K_C$ es; esto se deduce inmediatamente de la fórmula de adición y este enlace . $($ Sin maquinaria, también podemos escribir explícitamente una base para el sistema lineal canónico y demostrar que el mapa canónico es una incrustación, pero esto es complicado y básicamente equivalente. $)$

$\mathbb{C} \subset L(p + q)$ por la eficacia, por lo que es precisamente $\mathbb{C}$ . Cualquier función racional $f: C \to \mathbb{CP}^1$ de grado $2$ habría $2$ polos, y por lo tanto, caen en $L(p + q)$ pero que no sea constante, lo cual es una contradicción.

Answer 2

No necesariamente. La mayoría de los géneros $3$ las curvas no son hiperelípticas.

Citando a wikipedia :

Esto se ve heurísticamente mediante una comprobación de la dimensión del espacio de moduli. Contando las constantes, con n = 2g + 2, la colección de n puntos sujetos a la acción de los automorfismos de la recta proyectiva tiene (2g + 2) 3 grados de libertad, lo que es menor que 3g 3, el número de módulos de una curva de género g, a menos que g sea 2.