Demuestra que $K\times K[X]/(X^7-1)\cong K\times \dots \times K$

Question

Dado que $K$ es un campo finito de orden $q\equiv1\text{ mod } 7$, debo demostrar que $$K\times K[X]/(X^7-1)\cong K\times \dots \times K\ (8 \text{ veces } K).$$ Es lo mismo que demostrar que $$K[X]/(X^7-1)\cong K\times \dots \times K\ (7 \text{ veces } K).$$

Pensé que podría hacer un isomorfismo $\phi$ por $f=a_0+a_1X+\dots +a_6X^6\mapsto (a_0,a_1,\dots,a_n)$, porque $X^7=1$ en $K[X]/(X^7-1)$, así que solo hay polinomios de grado 6 o menor. Mostrar que $\phi(f+g)=\phi(f)+\phi(g)$ es fácil, pero no sé como demostrarlo multiplicativo. ¿Es correcto lo que he hecho hasta ahora? Necesito ayuda.

Answer 1

Pistas extendidas:

1. El grupo multiplicativo $K^*$ es cíclico de orden $q-1$, entonces existe una raíz primitiva séptima de la unidad $\omega \in K$. Así que $X^7-1$ tiene siete raíces distintas en $K$, y se factoriza como $$ X^7-1=(X-1)(X-\omega)(X-\omega^2)\cdots(X-\omega^6). $$
2. Teorema chino del resto
3. $K[X]/(X-a)\cong K$ para cualquier $a\in K$.

Intenta $\phi:K[X]/(X^7-1)\to K^7$ definida por $\phi(f)=(f(1),f(\omega),f(\omega^2),\ldots,f(\omega^6))$ en su lugar.