Encontrar las funciones generadoras o binomiales

Question

Encuentra el coeficiente de $x^k$ en la función $\frac{1}{(1-5x)^9}$. Sé la fórmula solo para $(1-x)^k$. Por favor, alguien ayúdame porque mi maestro no lo hizo.

Answer 1

Sabes que $$(1-y)^n = \sum_{k=0}^k (-1)^k \binom{n}{k} y^k$$

Ahora deja que $y = 5x$ $$(1-5x)^n = \sum_{k=0}^k (-1)^k \binom{n}{k} 5^k x^x$$

Por ejemplo, el coeficiente de $x^4$ en $(1-5x)^9$ es $$ (-1)^4 \binom{9}{4} 5^4 = + 126\cdot 625 $$