De hecho, no existe tal función
Supongamos que existe tal $f : (1, \infty)\rightarrow(1, \infty)$. Observemos primero que la dimensionalidad de la restricción en $f$ causa que $f$ esté determinada por su valor en cualquier punto de la siguiente manera. Consideremos, arbitrariamente, $f(2)$. Sea $f(2) = a$, entonces tenemos por la restricción para $y = 2$:
$$x^{(a^x)} = 2^{(f(x)^2)}$$ $$a^x \log_2 x = f(x)^2$$ $$f(x) = \sqrt{a^x \log_2 x}$$
Ahora verifiquemos si esto se cumple en otro lugar a lo largo de la restricción. Observa que la restricción es trivial si $x = y$, y por supuesto se cumplirá para $y = 2$ (y por simetría, $x = 2$) por diseño, así que intentemos, por ejemplo, $x = 4$ y $y = 8$. La restricción es entonces: $$4^{\left(\sqrt{a^8 \log_2 8}\right)^4} = 8^{\left(\sqrt{a^4 \log_2 4}\right)^8}$$ $$4^{\left(\sqrt{3a^8}\right)^4} = 8^{\left(\sqrt{2a^4}\right)^8}$$ $$4^{(9a^{16})} = 8^{(16a^{16})}$$ $$9a^{16}\log_2 4 = 16a^{16}\log_2 8$$ $$18a^{16} = 48a^{16}$$
Claramente esta ecuación tiene como única solución $a = 0$. Sin embargo, por suposición, $a$ está en el rango de $f$, pero esto contradice que $f$ esté en $(1, \infty)$, por lo tanto no existe tal $f$.
