¿Qué rango de valores para $q\in[0, 1]$ implican la convergencia de $x_{n+1} = 1+qx_n^2$

Question

Sea: $$ x_1 = a\\ 0 ¿Para qué valores de $q\in[0, 1]$ la secuencia $\{x_n\}$ es convergente?

He comenzado con lo siguiente. Nos dan que $a\in(0,1)$, entonces: $$ x_1 = a\\ x_2 = 1+qa^2 $$

Obviamente, dado que $a<1$: $$ x_1 < x_2 $$ Supongamos que $\forall n\in\Bbb N: x_{n+1}>x_n$: $$ x_{n+1} > x_n \\ x_{n+1}^2 > x_n^2 \\ qx_{n+1}^2 > qx_n^2 \\ 1+qx_{n+1}^2 > 1+qx_n^2 \\ x_{n+2} > x_{n+1} $$ La inducción muestra que $x_n$ es monótonamente creciente. Una secuencia monótona es convergente cuando está acotada. Supongamos que $x_n$ es convergente. Intentemos encontrar el punto fijo de la recurrencia: $$ x = 1 + qx^2\\ qx^2 - x + 1 = 0 \\ x = \frac{1\pm \sqrt{1-4q}}{2q} $$

Para que exista un punto fijo (al menos en $\Bbb R$) necesitamos: $$ 1-4q \ge 0 \\ q\le {1\over 4} $$ O dado las condiciones iniciales para $q$: $$ 0\le q\le {1\over 4} $$

Sin embargo, la solución anterior carece de un límite superior para $x_n$ que no pude encontrar. ¿Cuál sería la forma de concluir el problema? (En la sección de respuestas, de hecho se da $q$ en $q\in\left[0, {1\over 4}\right]$, pero aún necesito justificar eso)

Answer 1

• $(x_n)$ converge para $0\le q\le \frac{1}{4}$:

  Sea $\alpha=\frac{1+\sqrt{1-4q}}{2q}$ la raíz más grande de la ecuación $qt^2-t+1=0$. Dado que $\frac{1}{\alpha}$ es la otra raíz, encontramos que $\alpha \ge 1\ge x_0$. También encontramos que $$ \alpha \ge x_n \implies \alpha =q\alpha^2 +1\ge qx_n^2 +1=x_{n+1}. $$ Por inducción, tenemos que $\alpha \ge x_n$ para todo $n$. Combinando con el hecho (en el OP) de que $(x_n)$ es creciente, existe $$ l=\lim_{n\to \infty} x_n \le \alpha $$ por el teorema de convergencia monótona.

• $(x_n)$ diverge (a $\infty$) para $q>\frac{1}{4}$:

  Encontramos que $$ qt^2 -t+1 =q\left(t-\frac{1}{2q}\right)^2+1-\frac{1}{4q}\ge 1-\frac{1}{4q}=c>0. $$ Esto implica $$ x_{n+1} =qx_n^2+1 \ge x_n +c,\quad\forall n. $$ Por lo tanto, por inducción tenemos que $$ x_n \ge x_0 +nc \stackrel{n\to\infty}\longrightarrow \infty. $$ En resumen, $(x_n)$ converge si y solo si $q\in [0,\frac{1}{4}].$

Answer 2

Suponga $0\le q\le1/4$ y dejemos $$ x^*=\frac{1-\sqrt{1-4\,q}}{2\,q}=\frac{2}{1+\sqrt{1-4\,q}}. $$ $x^*$ es un punto fijo y $x^*>1$ (en particular, $a.) También tenemos que $$ x<1+q\,x^2,\quad 0 Dado que $0, se sigue que $0 para todo $n\in\Bbb N$.