Demostrar que el mínimo local de una función convexa es un mínimo global (usando únicamente la convexidad)

Question

Sea $C\subseteq \mathbb{R}^d$ un conjunto convexo, y sea $f:C\rightarrow \mathbb{R}$ una función convexa. Sea $x^*$ un minimizador local de $f$, es decir, existe un valor $p>0$ tal que para todo $x\in C$: $||x-x^*||\leq p \Rightarrow f(x) \geq f(x^*)$.

¿Cómo puedo demostrar que $x^*$ es un mínimo global sin utilizar límites, sino solo usando la propiedad de convexidad?

Sé cómo demostrar esto usando límites. Intenté demostrarlo por contradicción (es decir, asumir por contradicción que existe otro $x$ que es un mínimo local), pero no he llegado a ninguna parte.

Answer 1

Suponga que existe $x_0$ tal que $f(x_0) < f(x^\ast)$.

Entonces para cualquier $t\in (0,1]$ tenemos:

$$ \begin{align} f((1-t)x^\ast+tx_0) & \leq (1-t)f(x^\ast)+tf(x_0)\\ & < (1-t)f(x^\ast)+tf(x^\ast) \\ & = f(x^\ast) \end{align}$$

Si ahora eliges $t$ lo suficientemente pequeño, tendrás $\|(1-t)x^\ast+tx_0-x^\ast\| < p$ pero $f((1-t)x^\ast+tx_0) < f(x^\ast)$.

(Por ejemplo, $t = \min\left(1,\ \frac{1}{\|x^\ast-x_0\|}p\right)$ funcionará.)

Answer 2

Considera $y\in C$, $x\in [x^*, y]$ tal que $|x - x^*| \le p.

Existe $\lambda\in[0,1]$ tal que $x = \lambda y + (1-\lambda) x^*$. $$f(x) \le \lambda f(y) + (1-\lambda) f(x^*) $$

¿Puedes continuar a partir de aquí?