Doble norma de la intuición

Question

El doble de una norma $\|\cdot \|$ se define como:

$$\|z\|_* = \sup \{ z^Tx \text{ } | \text{ } \|x\| \le 1\}$$

Podría alguien darme una intuición de este concepto? Sé que la definición, la estoy usando para resolver problemas, pero en realidad todavía me falta la comprensión intuitiva de la misma.

Answer 1

Aquí está la forma en que me gusta pensar. Voy a empezar con lo finito en el espacio tridimensional $\Bbb{R}^n$ porque parece que es de donde eres, pero te voy a dar una analogía de infinitas dimensiones de los espacios así.

La cantidad de $z^Tx$ representa un funcional lineal en $\Bbb{R}^n$, que es una función lineal que se come un vector y escupe un número real:

$$ f_z(x):\Bbb{R}^n\rightarrow\Bbb{R}\quad \text{tales que }\quad f_z(\alpha x+\beta y)=\alpha f_z(x)+\beta f_z(y)\quad \forall \alpha,\beta\en\Bbb{R},x,y\in\Bbb{R}^n $$

Debido a la Representación de Riesz Teorema, sabemos que cualquier función lineal $f:\Bbb{R}^n\rightarrow\Bbb{R}$ va a tomar la forma $f=f_z$ algunos $z\in\Bbb{R}^n$, es decir,$f(x) = z^Tx$.

La pregunta ahora es este: dada una función lineal(al) $f_z(\cdot)$, ¿"grande"? Así, para medir el tamaño de los vectores, nos fijamos en las normas, así que la idea es simple: ¿cómo es de grande el número de $f_z(x)=z^Tx$ en relación con el tamaño (norma) de $x$? Este es exactamente el número de

$$ \frac{z^Tx}{\|x\|} $$ We then say that the norm of $z$ es el más grande de esta cantidad, posiblemente, puede ser:

$$ \|z\|_* = \sup_{x\neq 0} \frac{z^Tx}{\|x\|} $$ In a way, this is a kind of "stretch factor", but the stretching is measured with respect to $\|x\|$, which is the way we're measuring the size of $x$. With a simple one-line proof, you can show that my way of defining $\|z\|_*$ es el mismo que el suyo.

Esta idea se extiende hasta el infinito dimensional de la normativa en espacios como el $L^p$ - cada normativa espacio que tiene un "doble" espacio de (continua/limitada) lineal funcionales, es decir, las asignaciones de las cuales se alimentan de los vectores (que de hecho pueden ser funciones) y escupir números. Cada uno de estos funcionales tiene asociado un "tamaño", y que el tamaño está dado por la doble norma:

$$ \|f\|_* = \sup_{x\neq 0}\frac{f(x)}{\|x\|} $$

Realmente completa la imagen y ampliar un par de comentarios - ayuda a pensar también en la doble norma como un caso especial de un operador de la norma. La idea detrás de un operador general de la norma es prácticamente el mismo que como lo he descrito anteriormente, pero de una forma más lineal general operador $A:X\rightarrow Y$ donde $X$ $Y$ son cualquier normativa espacios lineales. En el caso de los funcionales lineales, $X$ es un espacio vectorial como $\Bbb{R}^n$ o $L^p$ etc, y $Y$ es simplemente el "campo base', $\Bbb{R}$ (o más generalmente,$\Bbb{C}$). La idea es que el $A$ come vectores y escupe otros vectores, y para medir el "tamaño" de $A$ podemos fijarnos de nuevo en la relación entre el tamaño de $Ax$ (medido con el $Y$ norma) para el tamaño de $x$ (medido con el $X$ norma):

$$ \frac{\|Ax\|_Y}{\|x\|_X} $$ The largest of these values over nonzero $x\in X$ is a good value for the size of $$, porque nos indica una especie de peor de los casos un factor de estiramiento: $$ \|\|=\Sup_{x\neq 0}\frac{\|Ax\|_Y}{\|x\|_X} $$

Esto es muy similar a la idea de un valor singular - de hecho, si utilizamos la norma Euclídea $\|\cdot\|_2$, el operador de la norma de una matriz es el mayor de su valor singular!

Answer 2

El espacio dual de un espacio de lineal funcionales. Si queremos definir una norma en el espacio dual, hacemos lo que hacemos siempre para medir el "tamaño" de una transformación lineal: se utiliza un operador de la norma.

Alternativamente, el doble de la norma de $z$ es la matriz de la norma de la matriz $z^T$.

Answer 3

Doble norma es un caso particular de la función de apoyo, específicamente se trata de la función de apoyo de la unidad de la bola original de la norma. Cuando la unidad de la bola es lo suficientemente suave como $\|z\|_*$ es la distancia Euclidiana desde el origen a la hyperplane con el vector normal $z$ (de la unidad de longitud Euclidiana) de la tangente a la pelota. La ecuación de esta hyperplane es $z^Tx=\|z\|_*$.

En general, la pelota puede tener puntos de esquina donde no hay tangencia, pero la hyperplane es todavía un "apoyo" en el sentido de que se cruza la frontera de la bola, pero no entra dentro de ella.