Encuentra todos los valores de $m \in \mathbb{N}$ tales que $\langle b_n \rangle$ converge a un número real positivo.

Question

Encuentra todos los valores de $m\in \mathbb{N}$ tales que $\langle b_n \rangle$ converge a un número real positivo cuando

\begin{equation} a_k=\frac{k^2+mk}{(k+5)^2} \quad \text{ y } \quad b_n = a_1a_2a_3...a_n. \end{equation}

Entonces primero encontré el término general de $b_n$.

$$b_n=\frac{1+m}{6^2}\frac{2(2+m)}{7^2} \ldots \frac{n(n+m)}{(n+5)^2}=\frac{n!(n+m)!5!5!}{(n+5)!(n+5)!}=\frac{n!(n+m)!5!5!}{m!(n+5)!(n+5)!}$$

Por lo tanto, básicamente necesito encontrar el límite de $\frac{n!(n+m)!}{(n+5)!(n+5)!}$ que no sea igual a $0$ o infinito.

Por lo tanto, el límite de $\frac{n!(n+m)!}{(n+5)!(n+5)!}$ solo puede ser $1$ cuando $m=10$ fue mi pensamiento.

¿Hay algo mal en mi solución?

Answer 1

La función gamma tiene el comportamiento asintótico $$ \lim_{n\to\infty} \frac{\Gamma(n) n^{\alpha}}{\Gamma(n+\alpha)}=1 $$ Entonces tenemos $$ \frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n+6)}\cdot \frac{\Gamma(n+m+1)}{\Gamma(n+6)} $$ $$ \lim_{n\to\infty}\frac{\Gamma(n+1) \cdot n^{5}}{\Gamma(n+6)}\cdot \frac{\Gamma(n+m+1)}{\Gamma(n+6)\cdot n^{m-5}}= \begin{cases} \infty,&m<10\\ 1,&m=10\\ 0,&m>10 \end{cases} $$