Evaluación de $\int_{0}^{2}\frac{(2x-2)dx}{2x-x^2}$

Question

Evaluar $$I=\int_{0}^{2}\frac{(2x-2)dx}{2x-x^2}$$

Usé dos métodos diferentes para resolver esto.

Método $1.$ Usando la propiedad de que si $f(2a-x)=-f(x)$ entonces $$\int_{0}^{2a}f(x)dx=0$$

Ahora $$f(x)=\frac{(2x-2)}{2x-x^2}$$ Así que

$$f(2-x)=\frac{2(2-x)-2}{2(2-x)-(2-x)^2}=\frac{2-2x}{2x-x^2}=-f(x)$$

Por lo tanto $$I=0$$

Método $2.$ Por fracciones parciales $$I=\int_{0}^{2}\frac{-1}{x}-\frac{1}{x-2} dx$$

Entonces

$$I=-\log |x| -\log |x-2| \vert_{0}^{2}$$ lo que da $$I=\infty$$

¿Cuál es correcto?

Answer 1

Consejo: $u=2x-x^2$ y $du=(2-2x)dx$.

Obtendrás: $$I=-\ln(2x-x^2)|_{x=0}^{x=2}$$

Tratemos ambos valores límite como variables $a$ y $b$

$$I_{a,b}=-\ln(2x-x^2)|_{x=a}^{x=b}=-\ln(2b-b^2)+\ln(2a-a^2)=\ln\left(\frac{2a-a^2}{2b-b^2}\right)=\ln\left(\frac{a(2-a)}{b(2-b)}\right)$$

Ahora tomamos el límite $(a,b)\to(0,2)$: $$\lim_{(a,b)\to(0,2)}I_{a,b}=\lim_{(a,b)\to(0,2)}\ln\left(\frac{a(2-a)}{b(2-b)}\right)$$

Observa que puedes establecer $a=0$ en $2-a$ y $b=2$ en $b$. $$\lim_{(a,b)\to(0,2)}I_{a,b}=\lim_{(a,b)\to(0,2)}\ln\left(\frac{2a}{2(2-b)}\right)=\lim_{(a,b)\to(0,2)}\ln\left(\frac{a}{2-b}\right)$$

En el último paso sustituimos $b=u+2$ y luego $u=ka$ (para mostrar que el límite no existe).

$$\lim_{(a,b)\to(0,2)}I_{a,b}=\lim_{(a,u)\to (0,0)}\ln\left(\frac{a}{u}\right)=\lim_{(a,u)\to (0,0)}\ln\left(\frac{1}{k}\right)=-\ln(k)$$

El límite depende de $k$, por lo tanto, el límite no existe.

Answer 2

El segundo da la respuesta correcta, pero ambas soluciones son, estrictamente hablando, incorrectas: Dado que el integrando tiene singularidades en ambos extremos del intervalo de integración, definimos el valor de la integral como $$\int_0^2 \frac{(2 x - 2)}{(2 x - x^2)} dx = \lim_{a \searrow 0} \int_a^c \frac{(2 x - 2)}{(2 x - x^2)} dx + \lim_{b \nearrow 2} \int_c^b \frac{(2 x - 2)}{(2 x - x^2)} dx$$ para algún $c \in (a, b)$; se sigue de propiedades elementales de integrales definidas que este valor no depende de $c$.

Para cada $0 < a < b < 2$, las dos integrales en el lado derecho son adecuadas, y se pueden manejar con la sustitución $u = 2 x - x^2$, $du = 2 - 2 x$; obtendremos $$- \lim_{a \searrow 0} \int_{2a - a^2}^{2 c - c^2} \frac{du}{u} - \lim_{b \nearrow 2} \int_{2c - c^2}^{2b - b^2} \frac{du}{u} .$$ Al definir $a' = 2 a - a^2$ y hacer lo mismo con $b'$, $c'$ obtenemos $$- \lim_{a' \searrow 0} \int_{a'}^{c'} \frac{du}{u} - \lim_{b' \searrow 0} \int_{c'}^{b'} \frac{du}{u} .$$ El primer límite es $$\lim_{a' \searrow 0} \int_{a'}^{c'} \frac{du}{u} = \lim_{a' \searrow 0} \log u \vert_{a'}^{c'} = \lim_{a' \searrow 0} (\log c' - \log a') = +\infty .$$ Por lo tanto, el valor de la integral en sí no existe, aunque podemos indicar su comportamiento en este caso como $\int_0^2 \frac{(2 x - 2)}{(2 x - x^2)} dx = -\infty$.