Esto es de la Sección 67, Ejercicio 6 de Munkres, que se centra en demostrar que
Cualquier subgrupo $B$ de un grupo abeliano libre $A$ con rango $n$ tiene un rango a lo sumo de $n$.
La prueba de esta afirmación se ha abordado aquí: Demuestre que cualquier subgrupo de un grupo abeliano libre de rango $r$ es abeliano libre de rango a lo sumo $r$ y algunos enlaces en internet.
Sin embargo, Munkres proporcionó algunas pautas para ayudar a los lectores a demostrar esta afirmación mediante la demostración de algunos subejercicios. En otras palabras, lo enunció de la siguiente manera:
Podemos asumir que $A=\mathbb{Z}^{n}$, y dejemos que $\pi_{i}:\mathbb{Z}^{n}\longrightarrow\mathbb{Z}$ sea la proyección en la , dejemos que de $B_{m}$ es un subgrupo de
(a) Demuestre que
(c) Demuestre que
He demostrado la parte (a) y la parte (c), pero estoy atascado en la parte (b).
Aquí está mi intento:
En primer lugar, si } es claramente independiente y, por la parte (a), genera
Supongamos que para algún } tiene elementos no nulos } tiene el elemento no nulo } que se hipotetiza que es independiente. ¿Pero cómo podría mostrar que $ $$\{x_{k,1},\cdots, x_{k,s}$} genera } tiene elementos no nulos } genera } genera . Ahora supongamos que para algún } genera , hay algún $$n\in\mathbb{Z}$} tal que , por lo que tenemos , y por lo tanto }, lo que implica que }.
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La prueba se concluye por inducción.
Por lo tanto, mi confusión radica en las dos preguntas anteriores, ¿alguna idea? ¡Gracias!
Edición 1:
Vale, creo que lo descubrí, responderé a mi propio mensaje.
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