Supongamos que tenemos un polinomio $p(x)\in\mathbb{R}[x]$ cuyas raíces son todas reales. Creo que la suma de cambios de signo de los coeficientes de $p(x)$ y $p(-x)$ es igual o menor que el grado del polinomio, pero no pude demostrarlo. ¿Alguien puede ayudarme a demostrarlo o traer un contraejemplo para esto?
Respuestas
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Hay un hecho más general;
El número de cambios de signo de $p(x)$ y $p(-x)$ juntos puede ser menor o igual que el grado de $p(x)$.
Vamos a demostrar esto usando una inducción. Supongamos que para polinomios con grados menores que $n$, es cierto. Ahora consideremos $$p(x)=a_nx^n+\cdots+a_{d+1}x^{d+1}+a_dx^{d}+\cdots+a_1x+a_0$$ Donde $d$ es el primer coeficiente cuyo signo es diferente al del coeficiente $a_n$. $$\begin{array}{ll} a_nx^n+\cdots+a_{d+1}x^{d+1}+ & a_dx^{d}+\cdots+a_1x+a_0\\ a_n(-x)^n+\cdots+a_{d+1}(-x)^{d+1}+ & a_d(-x)^{d}+\cdots+a_1(-x)+a_0 \end{array}$$ La suma del número de cambios de signo de $p(x)$ y $p(-x)$ es la suma de los cambios de signo de $q(x)$ y $q(-x)$ donde $q(x)=a_dx^{d}+\cdots+a_1x+a_0$ (que, como $d
Ninefingers
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Su observación es correcta. Tenga en cuenta que el número de cambios de signo no puede ser menor que el grado (a menos que tenga una raíz (múltiple) en cero, pero esto es fácil de remediar (simplemente factorice la mayor potencia posible de $x$).
La razón es que el límite de Descartes es estricto si el polinomio tiene solo raíces reales. Un argumento posible (más fuerte) para ver esto son las conversaciones parciales debido a Obreshkoff. Es una colección de teoremas que dan información sobre qué raíces pueden o no ser "reconocidas" por la regla de Descartes. En particular, si considera la recta real positiva (es decir, cuenta el número $v$ de cambios de signo de $p(x)$), entonces el teorema de Obreshkoff establece que $v$ es al menos el número de raíces reales positivas de $p$ y como máximo $\deg p$ menos el número de raíces reales negativas de $p$. Si todas las raíces de $p$ son reales, esto significa que contará el número exacto de raíces.
(IMHO) Hay formulaciones más intuitivas de los resultados de Obreshkoff después de transformaciones proyectivas del plano complejo, que le dan declaraciones locales para intervalos en la recta real. Para más detalles, consulte la tesis doctoral de Arno Eigenwillig (sección 2.1) y las referencias allí mencionadas.
Un argumento diferente que es bastante natural es la propiedad de disminución de signos (variación) (ver, por ejemplo: ibid, proposición 2.26), que es especialmente intuitiva si cuenta las variaciones de signo en la base de Bernstein con respecto a algún intervalo (que, nuevamente, se sabe que son equivalentes a los cambios de signo en la base de monomios). Si considera un intervalo que abarca todas las raíces, entonces por la regla de signos de Descartes (o sus hermanos Fourier-Budan, etc...), cuenta al menos tantos cambios de signo como raíces reales hay. Y si todas las raíces son reales, cuenta exactamente, ya que el número de cambios de signo obviamente no puede ser mayor que el grado.
Ahora, al dividir en un punto arbitrario (0 en su caso), la propiedad de disminución de signos de variación implica que los cambios de signo para el lado izquierdo (negativo) y el lado derecho (positivo) suman hasta como máximo este número. Pero como debe tener en cuenta al menos todas las raíces reales, la desigualdad es ajustada para el caso de solo raíces reales.
Por cierto, el resultado que está buscando es un subproducto de las demostraciones directas de la regla de signos de Descartes (en particular la demostración de Gauss, si mal no recuerdo). La razón por la que la paridad de los cambios de signo y el número de raíces es la misma es que puede haber pares de raíces complejas conjugadas que se cuentan como dos cambios de signo o no. Si no hay raíces complejas, bueno, esa parte es en vano.
Eso es solo para decir, mis explicaciones anteriores pueden ser intuitivas (o no), pero también un desvío de la regla de signos a un poderoso teorema sobre esa regla, y de regreso a un ingrediente de la prueba de la regla básica.
