Desigualdad que implica el factorial de la suma

Question

Me di cuenta de la siguiente desigualdad que involucra factoriales como consecuencia de un ejercicio de estadística: $$ (x_1+\cdots+x_n)!\leq n^{x_1+\cdots +x_n}\,x_1!\,\cdot\cdots\cdot\,x_n!\,, $$ donde $x_1,\ldots,x_n$ son enteros no negativos. Pensé que tal desigualdad tan limpia tendría un nombre, pero no pude encontrar nada en internet. ¿Alguien puede proporcionar una demostración elemental de ello, o al menos una que se sienta más natural que la mía?

Cómo llegué a ella: Sea $X=(X_1,\ldots,X_n)$ una muestra aleatoria de la distribución Poisson($\lambda$). Considere la estadística $T=X_1+\,\cdots\,X_n\,$. Por la propiedad de superposición de variables aleatorias de Poisson independientes, $T$ tiene una distribución Poisson($n\lambda$). Denotando $t(x)=x_1+\cdots+x_n\,$, la siguiente línea muestra que $T$ es una estadística suficiente para $\lambda\,$; $$ P\big(X=x\,\big|\,T=t(x)\big)=\frac{P(X=x)}{P\big(T=t(x)\big)}=\frac{\prod_1^nP(X_i=x_i)}{P\big(T=t(x)\big)}=\frac{\big(e^{-\lambda}\big)^n\,\frac{\lambda^{t(x)}}{x_1!\,\cdots \,x_n!}}{e^{-n\lambda}\,\frac{(n\lambda)^{t(x)}}{t(x)!}}=\frac{t(x)!}{n^{t(x)}x_1!\cdots x_n!}\,. $$ Como la probabilidad de cualquier evento no puede ser mayor que uno, debemos tener $t(x)!\leq n^{t(x)}x_1!\cdots x_n!\,$.

Answer 1

Imagina que tienes $n$ cajas etiquetadas y $x_1+x_2+\cdots+x_n$ objetos etiquetados. El multinomial

$$(x_1+x_2+\cdots+x_n)!\over x_1!x_2!\cdots x_n!$$

calcula el número de formas en que puedes colocar $x_k$ objetos en la caja $k$ para $1\le k\le n$, mientras que

$$n^{x_1+x_2+\cdots+x_n}$$

calcula el número de formas en que puedes asignar una caja a cada objeto, lo cual es equivalente a poner objetos en cajas sin restricción en el número de objetos que van en cada una de las cajas. Con estas interpretaciones, es claro que

$${(x_1+x_2+\cdots+x_n)!\over x_1!x_2!\cdots x_n!}\le n^{x_1+x_2+\cdots+x_n}$$

con igualdad solo en casos triviales.

Answer 2

Combinatorialmente, $$\frac{(x_1+\dots+x_n)!}{x_1!\cdots x_n!}$$ es un coeficiente multinomial que cuenta el número de formas de dividir un conjunto de tamaño $x_1+\dots+x_n$ en conjuntos de tamaños $x_1,\dots,x_n$. Por otro lado, $$n^{x_1+x_2+\dots+x_n}$$ cuenta el número de funciones de un conjunto de tamaño $x_1+\dots+x_n$ a un conjunto de tamaño $n$, o equivalentemente (considerando las fibras de dicha función) el número de particiones de un conjunto de tamaño $x_1+\dots+x_n$ en $n$ subconjuntos (ordenados). Así que $$\frac{(x_1+\dots+x_n)!}{x_1!\cdots x_n!}\leq n^{x_1+x_2+\dots+x_n}$$ y tu desigualdad sigue. Esto también muestra que la desigualdad es estricta a menos que $n=1$ o $x_i=0$ para todos los $i$, ya que de lo contrario existirán particiones en $n$ subconjuntos donde los subconjuntos no tienen tamaños $x_1,\dots,x_n$.