Cómo demostrar que $$1^2+2^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ sin utilizar la inducción.
Si no conocemos el lado correcto de esta expresión, cómo obtener la expresión correcta. He intentado con sumas parciales y la fórmula binomial, pero no puedo conseguirlo.
Así que el problema es: $$1^2+2^2+...+n^2=?$$
Gracias por las respuestas.
Se puede hacer con álgebra lineal, observando que el mapa $\Sigma$ que mapea una secuencia $u_n$ a la secuencia $u_0 + \dots + u_n$ tiene, como inverso a la izquierda, el mapa $\Delta$ , asignando la secuencia $u_n$ a la secuencia $u_n - u_{n-1}$ ya que, para cualquier secuencia $u_n = f(n)$ donde $f$ es un polinomio de grado $d$ , $\Delta u$ es un polinomio de grado $d-1$ vemos que $\Sigma$ mapea polinomios de grado $d$ a polinomios de grado $d+1$ y podemos encontrar cuáles por álgebra lineal.
Una forma aún más sencilla es utilizar la base estándar $e_d$ donde $e_d$ es la secuencia $e_{d,n} = \binom{n+d}{d}$ pues entonces tenemos $$(\Delta e_d)_n = e_{d,n} - e_{d,n-1} = \binom{n+d}{d} - \binom{n+d-1}{d} = \binom{n+d-1}{d-1} = (e_{d-1})_{n}.$$ Entonces sólo tenemos que escribir $n^2$ como una combinación lineal de $e_{0,n} = 1$ , $e_{1,n} = n$ y $e_{2,n} = n(n-1)/2$ .
Una tercera forma es utilizar las integrales: es decir, con álgebra lineal simple encontramos que $$ n^2 = \int_{n-1}^{n} (x^2+x+1/6) dx,$$ para que $$ 0+1+\dots+n^2 = \int_0^{n} (x^2+x+1/6) dx = \frac{1}{6} (2n^3+3n^2+n).$$
Una cuarta forma es la prueba geométrica habitual, en la que se pueden unir seis pirámides en un paralelepípedo.
¿Te refieres a una indicación de la prueba de Euler con series de potencias? (Me había olvidado de esa, aunque es bonita).
Sólo un pequeño comentario. En la solución "Con Integrales" la respuesta final debe ser en términos de $n$ 's, no de $x$ 's. Trato de editarlo yo mismo, pero @EdwardJiang rechazado y un no sé por qué.
Evaluar la suma telescópica
$$\sum_{k=1}^n k^3-(k-1)^3=n^3$$
Pero $k^3-(k-1)^3=3k^2-3k-1$ . Así,
$$\sum_{k=1}^n k^3-(k-1)^3=n^3=\sum_{k=1}^n (3k^2-3k-1)$$
Aislar la suma sobre $k^2$ ¡y utilizar el resultado de la suma de una suma aritmética y lo tendrás!
Esta metodología, que utiliza una suma telescópica, funciona para las potencias más altas. Así, puede utilizarse para encontrar la suma de $k^m$ para cualquier número entero $m$ .
Supongamos que sabemos $\sum\limits_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}{2}$ . Calcula los siguientes cubos
$$\begin{align} 1^3&=1\\ (1+1)^3&=1^3+3\cdot 1^2+3\cdot 1+1^3\\ \vdots&=\vdots\\ n^3&=(n-1)^3+3(n-1)^2+3(n-1)+1^3\\ (n+1)^3&=n^3+3n^2+3n+1^3\end {align}$$
Sumando estas ecuaciones y cancelando los cubos que tienes en ambos lados obtienes
$$\begin{align}(n+1)^3&=1+3\sum_{k=1}^nk^2+3\sum_{k=1}^nk+n\\ &=(n+1)\frac{3n+2}{2}+3\sum_{k=1}^nk^2\end{align}$$
Esto da como resultado
$$\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n+1}{3}\left(n^2+2n+1-\frac{3n+2}{2}\right)=\frac{(n+1)(2n^2+n)}{6}$$
Factorización $n$ obtenemos el resultado esperado
$\sum_ 1^{n+1}k^2=\sum_ 0^{n}(k+1)^2=\sum _0^{n}[k^2+2k+1]=\sum_1^nk^2+2\cdot \sum _1^nk + (n+1)$ que da $(n+1)^2=2\cdot \sum_1^n k + (n+1)$ de lo que se deduce que $\sum_1^nk=\frac {(n+1)^2-(n+1)}{2}=\frac{(n+1)n}{2}$ La fórmula conocida. Ahora puedes hacer lo mismo pero empezando por $\sum_1^{n+1}k^3=\sum_0^n(k+1)^3=\cdots $ y con un poco más de trabajo pero esencialmente el mismo tipo de álgebra, y usando la fórmula para $\sum_1^nk $ que se acaba de derivar descubres la fórmula sin adivinar. Esto funcionará para cualquier potencia especificada. Sin embargo, hay que tener en cuenta que esto todavía utiliza la inducción, oculta en la manipulación de las sumas.
En Concrete Mathematics de Knuth et. al. se presentan siete u ocho formas de hacerlo. La más elemental es ésta:
Dejemos que $S_r(n) = \sum_{k=0}^n x^r$ ; estamos tratando de encontrar una forma cerrada para $S_2(n)$ .
Imagina que estamos tratando de encontrar $S_3(n)$ :
$$ S_3(n) + (n+1)^3 = S_3(n+1) = \sum_{k=0}^n (k+1)^3 = \sum_{k=0}^n (j^3+3k^2+3k+1) \\ = \sum_{k=0}^n k^3 + 3\sum_{k=0}^n k^2 + 3 \sum_{k=0}^n k + \sum_{k=0}^n 1 = S_3(n) + 3S_2(n) + 3 \frac{n(n+1)}{2} + n $$ El $S_3(n)$ términos abandonan (lo que sería duro si realmente tratáramos de encontrar $S_3(n)$ ) y obtenemos $$ 3S_2(n) = (n+1)^3 - 3\frac{n(n+1)}{2} - n $$ a partir de la cual el álgebra fácil te da tu forma cerrada para $S_2(n)$ .
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He escrito este respuesta a una pregunta que pide $\sum r^n$ . (No le gustaba el método habitual.) Sin embargo, la pregunta se había cerrado varios segundos antes de que intentara publicarla, así que hice una captura de pantalla y la puse en los comentarios. En cualquier caso, para aplicarlo a tu pregunta, intenta $n^3$ como su primera suposición.