Deduciendo número de correlación positiva fuerte de variables aleatorias <strong></strong>

Question

Lo siguiente es conocido:

$$\sum\limits_{i=1}^{50} x_i = 1250, \sum\limits_{i=1}^{50} x_i^2 = 45000, \sum\limits_{i=1}^{50} y_i = 3100, \sum\limits_{i=1}^{50} y_i^2 = 250000$$

También se sabe que hay una fuerte correlación positiva entre $x$ e $y$. ¿Significa esto que $\sum\limits_{i=1}^{50} x_i y_i$ debe necesariamente ser mayor que 45000?

Mi razonamiento es que, dado que $\overline{x}=25$ y $\overline{y}=62$, debido a una fuerte correlación, $\sum\limits_{i=1}^{50} x_i y_i \ge 77500$. Sin embargo, ¿no podemos deducir la suma exacta de $\sum\limits_{i=1}^{50} x_i y_i$?

Answer 1

El coeficiente de correlación del momento del producto $r$ se define como:

$r=\frac{\Sigma xy-n\bar x\bar y}{\sqrt{\left (\Sigma x^2-n\bar x^2\right )\left (\Sigma y^2-n\bar y^2\right)}}$

Para tener una 'correlación positiva fuerte' podemos decir que $r$ debe ser mayor que algún valor crítico $r_c$. También sabemos que $r\le 1$

Así que $r_c \le \frac{\Sigma xy-n\bar x\bar y}{\sqrt{\left (\Sigma x^2-n\bar x^2\right )\left (\Sigma y^2-n\bar y^2\right)}}\le 1$

Por lo tanto $r_c \sqrt{\left (\Sigma x^2-n\bar x^2\right )\left (\Sigma y^2-n\bar y^2\right)}\le \Sigma xy-n\bar x\bar y\le \sqrt{\left (\Sigma x^2-n\bar x^2\right )\left (\Sigma y^2-n\bar y^2\right)}$

o $n\bar x\bar y +r_c \sqrt{\left (\Sigma x^2-n\bar x^2\right )\left (\Sigma y^2-n\bar y^2\right)}\le \Sigma xy \le n\bar x\bar y + \sqrt{\left (\Sigma x^2-n\bar x^2\right )\left (\Sigma y^2-n\bar y^2\right)}$

Tienes razón en que no podemos decir exactamente cuál es $\Sigma xy$, pero podemos darle límites.