Sea $X$ un Espacio de Banach reflexivo. Sea $Y$ un subespacio cerrado de éste. Necesito demostrar que $Y$ también es reflexivo. Como de costumbre, considero el mapa de inclusión $$J: Y \to Y'', J(y)=j_{y}, j_{y}(y')=y'(y)$$, donde $Y''$ denota el espacio bidual de $Y$. Necesito demostrar que el mapa es sobreyectivo porque lo demás está garantizado (uno a uno e isometría)
Elijo un elemento digamos $y^{**} \in Y''$, luego defino $\tilde{y} \in X''$ tal que $\tilde{y}(x')=y^{**}(x'|_{Y})$. Entonces está bien definido, es lineal y continuo. Dado que $X$ es reflexivo, existe $x \in X$ tal que $j_{x}=\tilde{y}$.
Supongamos que $x \not \in Y$. Entonces, dado que $Y$ es cerrado, por el teorema de Hahn-Banach, existe $f:X \to K$ tal que $f(x)=1$ y $f|_{Y}=0$. Luego $\tilde{y}(f)=f(x)=1=y^{**}(0)=0$ lo cual no puede ocurrir. Por lo tanto, $x=y \in Y$
Necesito demostrar que $j_{y}=y^{**}.
