Investigar el número máximo de soluciones enteras a un rompecabezas ecuacional

Question

Estoy trabajando en un rompecabezas curioso y podría usar algo de ayuda. Considera la ecuación $a^2+b^2+c^2+d^2=e^2+f^2+g^2+h^2$, donde $a, b, c, d, e, f, g, h$ son enteros. Me interesa encontrar el número máximo de soluciones enteras para esta ecuación dentro de un rango dado de valores para $a, b, c, d, e, f, g, h$.

El problema es muy interesante la distribución de soluciones enteras para este tipo de ecuación y me gustaría investigarlo más a fondo. Es un problema fascinante que involucra conceptos algebraicos y teóricos de números, y creo que podría llevar a una comprensión más profunda de las propiedades y patrones de soluciones enteras para tipos similares de ecuaciones.

Estoy buscando sugerencias e ideas de la comunidad sobre cómo abordar este problema. ¿Existen técnicas o herramientas conocidas que podrían ser útiles? ¿Qué estrategias recomendarías para explorar las propiedades de la ecuación y encontrar el número máximo de soluciones enteras? ¿Algún idea o observación? ¡Gracias de antemano por tu ayuda!

Answer 1

Existen infinitas soluciones que incluyen cualquier par [diferente] de triples pitagóricos $\,(A^2+B^2=C^2)\,$ donde la hipotenusa $\,C\,$ es el producto de dos primos distintos. Por ejemplo: $\,65=5\cdot13\text{ y }85=5\cdot17.\quad$

\begin{align*} (33^2+56^2=65^2)&\qquad(63^2+16^2=65^2)\\ (13^2+84^2=85^2)&\qquad(77^2+36^2=85^2)\\ \\ \implies (33^2+56^2)+(13^2+84^2)&\,\,=\,\,\,(63^2+16^2)+(77^2+36^2) \end{align*}

En esta breve lista de valores de hipotenusa, aquellos que se repiten tienen múltiples triples con ese valor. Además, cualquier hipotenusa que sea el producto de dos de los mostrados proporcionará soluciones a la pregunta anterior.

Por supuesto, existen otros enfoques pero esto muestra que hay infinitas soluciones sin necesidad de ellos.

Answer 2

Según el Teorema de Jacobi, aquí están los primeros términos que tienen sorprendentemente un gran número de conteos como la suma de cuatro cuadrados. Aquí permitimos $\pm$ y sin orden. Estos son, simplemente, el análogo de los números colosalmente abundantes. https://simple.wikipedia.org/wiki/Colossally_abundant_number

Los números surgen de esta receta de Ramanujan: toma un real $1 > \delta > 0. $ Encuentra el número $n$ que maximiza $$ \frac{r_4 (n)}{n^{1 + \delta}} , $$ donde $r_4(n) $ es la versión de Jacobi del conteo de cuatro cuadrados, permitiendo $\pm$ y sin orden...

Deberías calcular el conteo que desees para tantos de estos números como puedas soportar. Mientras, para pasar de una línea a la siguiente línea, multiplica por solo un primo impar. Además, los primos impares en la factorización de cada número son no crecientes.

$$ \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc $$

2= 2
6= 2 3
30= 2 3 5
90= 2 3^2 5
630= 2 3^2 5 7
6930= 2 3^2 5 7 11
90090= 2 3^2 5 7 11 13
270270= 2 3^3 5 7 11 13
1351350= 2 3^3 5^2 7 11 13
22972950= 2 3^3 5^2 7 11 13 17
436486050= 2 3^3 5^2 7 11 13 17 19
10039179150= 2 3^3 5^2 7 11 13 17 19 23
291136195350= 2 3^3 5^2 7 11 13 17 19 23 29
9025222055850= 2 3^3 5^2 7 11 13 17 19 23 29 31
63176554390950= 2 3^3 5^2 7^2 11 13 17 19 23 29 31
189529663172850= 2 3^4 5^2 7^2 11 13 17 19 23 29 31
7012597537395450= 2 3^4 5^2 7^2 11 13 17 19 23 29 31 37
287516499033213450= 2 3^4 5^2 7^2 11 13 17 19 23 29 31 37 41
12363209458428178350= 2 3^4 5^2 7^2 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43
581070844546124382450= 2 3^4 5^2 7^2 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47
30796754760944592269850= 2 3^4 5^2 7^2 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53
1817008530895730943921150= 2 3^4 5^2 7^2 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
9085042654478654719605750= 2 3^4 5^3 7^2 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
554187601923197937895950750= 2 3^4 5^3 7^2 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61
37130569328854261839028700250= 2 3^4 5^3 7^2 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67
2636270422348652590571037717750= 2 3^4 5^3 7^2 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71
192447740831451639111685753395750= 2 3^4 5^3 7^2 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73
2116925149145968030228543287353250= 2 3^4 5^3 7^2 11^2 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73
167237086782531474388054919700906750= 2 3^4 5^3 7^2 11^2 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79
13880678202950112374208558335175260250= 2 3^4 5^3 7^2 11^2 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83
41642034608850337122625675005525780750= 2 3^5 5^3 7^2 11^2 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83
3706141080187680003913685075491794486750= 2 3^5 5^3 7^2 11^2 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89
359495684778204960379627452322704065214750= 2 3^5 5^3 7^2 11^2 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97
4673443902116664484935156880195152847791750= 2 3^5 5^3 7^2 11^2 13^2 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97
472017834113783112978450844899710437626966750= 2 3^5 5^3 7^2 11^2 13^2 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101
48617836913719660636780437024670175075577575250= 2 3^5 5^3 7^2 11^2 13^2 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103

$$ \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc \bigcirc $$

He escrito un pequeño código; para estos números, el "conteo" para $n$ es el conteo de enteros $w \geq x \geq y \geq z \geq 0$ y $w^2 + x^2 + y^2 + z^2 = n$

6= 2 3 conteo  1
30= 2 3 5 conteo  2
90= 2 3^2 5 conteo  9
630= 2 3^2 5 7 conteo  46
6930= 2 3^2 5 7 11 conteo  495
90090= 2 3^2 5 7 11 13 conteo  6648
270270= 2 3^3 5 7 11 13 conteo  20224
1351350= 2 3^3 5^2 7 11 13 conteo  104488