Dado $|f'(x)|\leq r<1$, muestra que $f(x)=x$ es una solución única

Question

Supongamos que $|f'(x)|\leq r<1, \forall x\in R$. ¿Cómo puedo mostrar que la ecuación $f(x)=x$ tiene una solución única?

Answer 1

Primero necesitamos mostrar que existe una solución:

Sea $\phi(x) = f(x)-x$. Si $\phi(0) = 0$ hemos terminado.

Supongamos que $\phi(0) >0$. Observa que $\phi'(x) = f'(x)-1 \le r-1 < 0$. Entonces el teorema del valor medio nos da $\phi(x) = \phi(0) + \phi'(\xi) x \le \phi(0) + (r-1) x$ y un rápido cálculo muestra que $\phi({ \phi(0) \over -(r-1) }) \le 0$, por lo tanto el teorema del valor intermedio muestra que hay algún $x$ tal que $\phi(x) =0$, o $f(x) = x.

Si $\phi(0) <0$ se aplica un análisis similar.

Por lo tanto, hay algún $x$ tal que $f(x) = x.

Luego necesitamos mostrar que la solución es única.

Supongamos que $y